Ensino Superior ⇒ Valor Mínimo Tópico resolvido

[IvanFilho]

Sendo a,b,c maior que zero. Qual o valor mínimo de
[tex3]\frac{(a+1)^{2}}{a(a+2)} + \frac{(b+1)^{2}}{b(b+2)} + \frac{(c+1)^{2}}{c(c+2)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{(a+1)^{2}}{a(a+2)} + \frac{(b+1)^{2}}{b(b+2)} + \frac{(c+1)^{2}}{c(c+2)}[/tex3]

[undefinied3]

Algumas coisas que saltam aos olhos:
-> a, b, c maiores que zero, portanto vale desigualdade das médias
-> [tex3]\frac{a+(a+2)}{2}=a+1[/tex3]

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[tex3]\frac{a+(a+2)}{2}=a+1[/tex3]

Sendo assim, por tal desigualdade:
[tex3]\frac{a+(a+2)}{2} \geq \sqrt{a(a+2)} \rightarrow a+1 \geq \sqrt{a(a+2)} \rightarrow (a+1)^2 \geq a(a+2)[/tex3]

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[tex3]\frac{a+(a+2)}{2} \geq \sqrt{a(a+2)} \rightarrow a+1 \geq \sqrt{a(a+2)} \rightarrow (a+1)^2 \geq a(a+2)[/tex3]

[tex3]\therefore \frac{(a+1)^2}{a(a+2)} \geq 1[/tex3]

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[tex3]\therefore \frac{(a+1)^2}{a(a+2)} \geq 1[/tex3]

E repete-se a conta pras outras três variáveis. Somando tudo, teremos
[tex3]\frac{(a+1)^2}{a(a+2)} +\frac{(b+1)^2}{b(b+2)}+\frac{(c+1)^2}{c(c+2)} \geq 3[/tex3]

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[tex3]\frac{(a+1)^2}{a(a+2)} +\frac{(b+1)^2}{b(b+2)}+\frac{(c+1)^2}{c(c+2)} \geq 3[/tex3]

Então o valor mínimo seria 3. Só que tem um problema, o valor mínimo ocorre quando há igualdade na desigualdade das médias, então os termos dos quais tiramos a média deveriam ser iguais, isto é, [tex3]a=a+2[/tex3]

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[tex3]a=a+2[/tex3]

, o que não acontece. Segue que sua expressão não tem um mínimo definido, mas ela tem um limite: se tomarmos [tex3]a,b,c \rightarrow \infty[/tex3]

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[tex3]a,b,c \rightarrow \infty[/tex3]

, a igualdade "ocorreria".
A resposta portanto, é que não há mínimo, mas há um limite, e este vale 3.