Ensino Médio

F.21 Provar que se a equação [tex3]x^2 + (a + bi)x + (c + di) = 0[/tex3] , onde [tex3]a,b,c,d\in \mathbb{R}[/tex3] , admite uma raiz real, então [tex3]abd = d^2 + b^2c[/tex3]

Eu tentei assim:
Fazendo [tex3]\Delta =0[/tex3] , temos:
[tex3](a + bi)^2 - 4(c +di) = 0[/tex3]
[tex3]a^2 + 2abi - b^2 - 4c - 4di = 0[/tex3]
[tex3]a^2 - b^2 - 4c + (2ab - 4d)i = 0 + 0i[/tex3]
Igualando parte Real com parte real e parte Imaginária com parte imaginária, temos o sistema:
[tex3]\begin{cases}
a^2 - b^2 -4c=0 (I)\\
2ab - 4d=0 (II)
\end{cases}
[/tex3]
De (I), vem: [tex3]\frac{a^2}{4} = c + \frac{b^2}{4} (III)[/tex3]
De (II), vem [tex3]2ab - 4d = 0[/tex3]
[tex3](2ab - 4d)^2 = 0^2[/tex3]
[tex3]4a^2b^2 - 16abd + 16d^2=0[/tex3]
[tex3]16abd = 4a^2 b^2+ 16d^2[/tex3]
Dividindo ambos os lados por 16, ficamos com:
[tex3]abd = \frac{a^2}{4}b^2 + d^2 [/tex3] ,
mas aí, pra concordar com o enunciado, [tex3]\frac{a^2}{4}[/tex3] teria que ser igual a [tex3]c[/tex3] , mas de (I), o [tex3]\frac{a^2}{4} = c + \frac{b^2}{4}[/tex3]

Alguém poderia me dizer onde estou errando?? Obrigado desde já!

Olá!
Observe uma resolução mais simples:seja [tex3]p[/tex3] a raiz real,então:
[tex3]p^{2}+(a+bi)p+(c+di)=0\rightarrow \begin{cases}
p^{2}+ap+c=0\hspace{34pt}(1) \\
bp+d=0\rightarrow p=-\frac{d}{b}\hspace{10pt}(2)
\end{cases}[/tex3]
Substituindo (2) em (1),temos:
[tex3]\(-\frac{d}{b}\)^{2}+a\(-\frac{d}{b}\)+c=0[/tex3]
[tex3]\frac{d^{2}}{b^{2}}-\frac{ad}{b}+c=0[/tex3]
[tex3]d^{2}-abd+b^{2}c=0[/tex3]
[tex3]\therefore abd=b^{2}c[/tex3]

Ensino Médio ⇒ Números complexos (FME) Tópico resolvido

Números complexos (FME)

Re: Números complexos (FME)

Ensino Médio ⇒ Números complexos (FME) Tópico resolvido

Números complexos (FME)

Re: Números complexos (FME)

Entrar • Registrar