Ensino Médio ⇒ Inequação (Aref 1) Tópico resolvido

[leomaxwell]

4.43) Sendo a e b números reais quaisquer, demonstre que:

b) [tex3]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac +bc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + ac +bc[/tex3]

Obrigado desde já!

[jomatlove]

Resolução:
Usando a desigualdade [tex3]MA\geq MG[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]MA\geq MG[/tex3]

,temos:
[tex3]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}.b^{2}}\rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq \sqrt{a^{2}.b^{2}}\rightarrow a^{2}+b^{2}\geq 2ab[/tex3]

De modo similar,obtemos:
[tex3]a^{2}+c^{2}\geq 2ac[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+c^{2}\geq 2ac[/tex3]

;
[tex3]b^{2}+c^{2}\geq 2bc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b^{2}+c^{2}\geq 2bc[/tex3]

;
Somando tudo:
[tex3]2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+ac+bc)\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+ac+bc)\rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+ac+bc[/tex3]

E a igualdade ocorre para [tex3]a=b=c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=b=c[/tex3]

[leomaxwell]

Obrigado pela ajuda!!