Ensino MédioCombinatória Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Babi123
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Ago 2017 20 16:09

Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

Dada a malha quadriculada abaixo:
Malha Quadriculada.png
Malha Quadriculada.png (6.4 KiB) Exibido 3116 vezes
Responda: Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, existem?
Resposta

Gabarito: 10536
:(:cry:

Edit: Vi umas soluções desta questão, mas não fiquei satisfeita, pois elas são assim:

[tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3] (Total de maneiras de escolhar quatro pontos)

Contagem indevidas:
[tex3]4\cdot C_{6}^{4}=60[/tex3]
[tex3]6\cdot C_{4}^{2}=30[/tex3]

Resposta: [tex3]10626-30-60=10536[/tex3] .

Discordo desta resolução, primeiramente que eu não entendi esse [tex3]6\cdot C_{4}^{2}[/tex3] , e também nessa resolução não tá contando os casos de escolher três pontos colineares de uma segmento de reta e o outro ponto fora dela. Neste casos teríamos todos os triângulos que foram contados como quadrilátero.


Alguém pode me ajudar? :cry::cry:

Última edição: Babi123 (Dom 20 Ago, 2017 17:12). Total de 3 vezes.



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jedi
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por jedi »

pois é, também não concordo com esse numero de contagens indevidas, para mim esse número é bem maior

o que eu pensei foi: cada quadrilatero é formado por dois lados verticais e dois horizontais, como temos um total de 6 linhas verticais e 4 horizontais
então combinando as linhas horizontais de duas em duas e as verticais de duas em duas teríamos

[tex3]C_{2}^{6}=15[/tex3]

[tex3]C_{2}^{4}=6[/tex3]

[tex3]6.15=90[/tex3]

para mim o total de quadrilateros seria 90




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Babi123
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Ago 2017 20 18:28

Re: Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

Entendi seu raciocínio jedi, mas na sua contagem incluem casos da figura abaixor?
Quadrilátero possibilidades.png
Quadrilátero possibilidades.png (14.01 KiB) Exibido 3100 vezes
Ou esses tipo de quadriláteros não fazem parte? Nesse meu raciocínio teriam mais muitos outros quadriláteros: paralelogramos, trapézios...



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IvanFilho
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Ago 2017 20 22:04

Re: Combinatória

Mensagem não lida por IvanFilho »

Olá Babi!
No caso ''e também nessa resolução não tá contando os casos de escolher três pontos colineares de uma segmento de reta e o outro ponto fora dela'' essa contagem não pode ser feita, pois como você bem disse teríamos triângulos!



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jedi
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Ago 2017 20 22:25

Re: Combinatória

Mensagem não lida por jedi »

IvanFilho e Babi123

Quando eu li o enunciado eu pensei que fosse só os quadriláteros com lados sobre os traços, mas realmente tem mais quadriláteros se formos levar em conta apenas os vértices

Mas isso torna o problema bem complexo pois existem conjuntos de 4 pontos que formam mais de um quadrilátero como por exemplo os dois desenhados em vermelho e azul que compartilham os mesmos vértices
Malha Quadriculada.png
Malha Quadriculada.png (6.96 KiB) Exibido 3083 vezes



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Babi123
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

jedi, eu pensei desse mesmo jeito, pois o problema pede quantos quadriláteros de qualquer tamanhos podem ser formados, logo nessa contagem valem todos os quadriláteros convexos e também todos os côncavos. Vou digitar meu raciocínio já já.



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Babi123
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

Babi123 escreveu:
Dom 20 Ago, 2017 16:09
Quantos quadriláteros, de qualquer tamanho, existem?
Total de Casos (escolha de 4 pontos):
[tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3]


Contagens indevidas:
Caso 1 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]4\cdot C_{6}^{4}= \boxed{60}[/tex3]

Caso 2 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]4\cdot C_{4}^{4}=\boxed{4}[/tex3]

Caso 3 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{80}[/tex3]

Caso 4 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{24}[/tex3]

Caso 5 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{24}[/tex3]

Caso 6 [tex3]\rightarrow [/tex3] [tex3]4\cdot C_{3}^{3}=\boxed{4}[/tex3]

Total de casos indevidos: [tex3]60+4+80+24+24+4=196[/tex3]

Portanto,

Total de quadriláteros: [tex3]10626-196=10430[/tex3]



Agora veja todos os casos ilustrados nas imagens abaixo:

Caso 1 (descrevendo duas possíveis situações):
Caso 1.png
Caso 1.png (7.06 KiB) Exibido 3071 vezes

Caso 2 (descrevendo duas possíveis situações):
caso 2.png
caso 2.png (7.06 KiB) Exibido 3071 vezes

Caso 3 e 4 é análogo aos dois anteriores

Caso 5 (descrevendo de algumas possíveis situações):
Caso 5.png
Caso 5.png (17.33 KiB) Exibido 3071 vezes

Caso 6:
Caso 6.png
Caso 6.png (17.92 KiB) Exibido 3071 vezes



Acredito que deu para entender meu raciocínio.



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Re: Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

O que vcs acham?
:roll::(

Edit: Acho que viajei D+. :|
Última edição: Babi123 (Seg 21 Ago, 2017 00:01). Total de 1 vez.



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jedi
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por jedi »

Certo, entendi

Porém tenho algumas observações

no Caso 3

[tex3]4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{80}[/tex3]

quando você toma 3 pontos de uma linha horizontal você precisa de mais um ponto de alguma das outras horizontais para ter uma combinação de 4 pontos, como são 18 pontos que sobram das outras linhas horizontais, o número total de combinações indevidas será

[tex3]18.4\cdot C_{6}^{3}=\boxed{1440}[/tex3]

o mesmo vale para o Caso 4

[tex3]20.6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{480}[/tex3]

Caso 5

[tex3]20.6\cdot C_{4}^{3}=\boxed{480}[/tex3]

Caso 6

[tex3]21.4\cdot C_{3}^{3}=\boxed{84}[/tex3]


EDIT: tem também o caso dos 4 pontos sobre a mesma diagonal

Caso 7

[tex3]6.C_{4}^{4}=\fbox{6}[/tex3]


subtraindo de [tex3]C_{24}^{4}=10626[/tex3] você terá todas as combinações de 4 pontos que formam um quadrilátero, porém algumas formam mais de um quadrilátero sendo assim você não terá todos os quadriláteros nessa conta.
Última edição: jedi (Seg 21 Ago, 2017 00:08). Total de 1 vez.



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Babi123
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Re: Combinatória

Mensagem não lida por Babi123 »

Entendi jedi, realmente não me atentei para isso. :(




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