Pré-Vestibular ⇒ UEPG - 2007 Conjunto Tópico resolvido

[BiancaIrina]

Gostaria da resolução completa da questão, com o calculo da equação apresentada!!

Sendo A o conjunto das raízes da equação 3x+ 31–x = 4, assinale o que for correto.
01) A U IN = A
02) A Ã {–1, 0, 1, 2}
04) A soma dos elementos do conjunto A é 4.
08) A é um conjunto unitário.
16) Se B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, então A « B = {0, 1}.

[agst777]

Acredito que a questão que você pediu seja essa:

enunciado.png (12.91 KiB) Exibido 2839 vezes

Obs: Use imagens dos enunciados para facilitar a resolução

[BiancaIrina]

Exatamente, essa é questão que quero, agora gostaria de ajuda na resolução da questão se for possível!

[fismatpina]

Segue a solução:

WhatsApp Image 2017-08-11 at 11.30.27.jpeg (47.46 KiB) Exibido 2833 vezes

[Hanon]

Sendo A o conjunto das raízes da equação 3x+ 31–x = 4, assinale o que for correto.
01) A U IN = A
02) A Ã {–1, 0, 1, 2}
04) A soma dos elementos do conjunto A é 4.
08) A é um conjunto unitário.
16) Se B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, então A « B = {0, 1}

BiancaIrina,

Bom dia. Sempre que possível use o Tex, pois sem o uso dele fica muito difícil de entender as equações.
Quanto a questão o correto é:

(UEPG) Sendo A o conjunto das raízes da equação [tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

, assinale o que for correto.

01) [tex3]A \ \cup \ \mathbb{N} = A[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A \ \cup \ \mathbb{N} = A[/tex3]

02) [tex3]A ⊂[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A ⊂[/tex3]

{–1, 0, 1, 2}
04) A soma dos elementos do conjunto A é 4.
08) A é um conjunto unitário.
16) Se [tex3]B = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B = [/tex3]

{0, 1, 2, 3, 4, 5}, então [tex3]A ∩ B = [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A ∩ B = [/tex3]

{0, 1}.

Obs: Estava digitando quando o colega enviou a resolução. Mas tente digitar as equações pelo Tex, pois vai até facilitar a busca por outras pessoas, enquanto imagem não ajuda muito.

Bons estudos e bem vinda ao Fórum.

[BiancaIrina]

Existe uma explicação teórica para esta resolução apresentada por vocês?
se existir por favor me mande para que eu possa entender a resolução

[fismatpina]

Em questões que envolvem exponenciais ou logaritmos, a ideia de substituir variáveis é muito útil. Acredito que esse foi o objetivo do vestibular ao colocar essa questão.

[Hanon]

Existe uma explicação teórica para esta resolução apresentada por vocês?
se existir por favor me mande para que eu possa entender a resolução

BiancaIrina, Veja que o enunciado fala que o conjunto A é formado pelas raízes da equação, portanto, primeiramente vc tem que resolver a equação para achar o conjunto A.

Vou aproveitar a solução do colega fismatpina:

[tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

. Pelas propriedades de potenciação sabemos que [tex3]3^{1-x}=\frac{3^1}{3^x}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{1-x}=\frac{3^1}{3^x}[/tex3]

, aplicando esta propriedade temos:
[tex3]3^{x}+ \frac{3^1}{3^x} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x}+ \frac{3^1}{3^x} = 4[/tex3]

.

Agora como a equação está em uma forma que não sabemos resolver é conveniente fazer a mudança de incógnita [tex3]3^x=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=a[/tex3]

. Logo a equação acima fica:

[tex3]a+ \frac{3}{a} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a+ \frac{3}{a} = 4[/tex3]

. Agora multiplique ambos os membros por [tex3]''a''[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]''a''[/tex3]

a fim de eliminar a fração que tem o denominador [tex3]''a''[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]''a''[/tex3]

:
[tex3]a\cdot a+ \frac{3}{a}\cdot a = 4\cdot a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a\cdot a+ \frac{3}{a}\cdot a = 4\cdot a[/tex3]

. Disso teremos:
[tex3]a^{2}+3=4a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}+3=4a[/tex3]

[tex3]a^{2}-4a+3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a^{2}-4a+3=0[/tex3]

. Agora é só resolver esta equação do 2° grau, e encontrarás como raízes:
[tex3]a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1[/tex3]

[tex3]a=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=3[/tex3]

Encontramos o valor de [tex3]a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a[/tex3]

, agora basta voltar para a incógnita do problema:

Para [tex3]a=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=1[/tex3]

, temos:

[tex3]3^x=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=a[/tex3]

[tex3]3^x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=1[/tex3]

[tex3]3^x=3^0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=3^0[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=0[/tex3]

Para [tex3]a=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]a=3[/tex3]

:

[tex3]3^x=a[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=a[/tex3]

[tex3]3^x=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=3[/tex3]

[tex3]3^x=3^{1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^x=3^{1}[/tex3]

[tex3]x=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=1[/tex3]

Logo, o conjunto solução da equação [tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{x}+ 3^{1-x} = 4[/tex3]

é:
S [tex3]=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=[/tex3]

{0, 1}

Portanto, o conjunto A será:
A={0, 1}

A partir disso é só avaliar as afirmações do problema usando os conhecimentos básicos de conjuntos.

[fismatpina]

Se sua dúvida foi nas alternativas podemos explicar. Se foi só porque resolvi desta maneira, então o tópico está concluído.