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Mensagem não lidapor **rayssa1234** » 04 Ago 2017, 22:53 · Mensagem não lida por **rayssa1234** » 04 Ago 2017, 22:53

Uma certa região é cortada por três estradas, E1, E2 e E3 que se interceptam nos pontos A, B e C, delimitando uma área reservada para um determinado tipo de plantação, conforme mostra a figura.

: imag.png (16.29 KiB) Exibido 2590 vezes

Sabe-se que todas as medidas estão em km e que as estradas são representadas pelas retas de equações:

• E1 : 5x − 6y + 30 = 0
• E2 : 5x + 4y − 70 = 0
• E3 : y = 5

Nessas condições, a área da região delimitada pelos pontos A, B e C, em km2, é:

(A) 17.
(B) 19.
(C) 21.
(D) 23.
(E) 25.

Mensagem não lidapor **leomaxwell** » 04 Ago 2017, 23:50 · Mensagem não lida por **leomaxwell** » 04 Ago 2017, 23:50

Olá, rayssa1234

No ponto B, as retas E₁ e E₂ se encontram, portanto nesse ponto as duas retas têm o mesmo ''x'' e o mesmo ''y''. Assim:
E₁)[tex3]5x - 6y + 30 = 0[/tex3]
[tex3]5x = 6y - 30\rightarrow x = \frac{6y - 30}{5}[/tex3] (I)
Agora, podemos substituir esse ''x'' na reta E₂:
[tex3]5\left(\frac{6y-30}{5}\right) + 4y - 70 = 0[/tex3]
[tex3]6y - 30 + 4y -70 = 0 [/tex3]
[tex3]10y-100 = 0\rightarrow y = 10[/tex3]
Substituindo [tex3]y[/tex3] em (I), vem:
[tex3]x = \frac{6.10 - 30}{5}[/tex3]
[tex3]x = \frac{30}{5}\rightarrow x = 6[/tex3]
Concluímos então que o ponto B tem coordenadas x = 6 e y = 10, ou seja B(6;10)
Fazendo o mesmo raciocínio para os pontos A e C, encontramos A(0;5) e C(10;5)
Agora nos resta calcular a área do triângulo, para isso basta fazer:

[tex3]A = \frac{1}{2}det\begin{pmatrix}
x_{1} & y_{1} & 1 \\
x_{3} & y_{2} & 1 \\
x_{3} & y_{3} & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]
em que o ''x'' e o ''y'' da matriz são os pontos do triângulo

[tex3]\frac{1}{2}det\begin{pmatrix}
6 & 10 & 1 \\
0 & 5 & 1 \\
10 & 5 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Calculando o determinante dessa matriz pela Regra de Sarrus, achamos que [tex3]det = 50[/tex3] e
multiplicando det por [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] , temos [tex3]A = 25[/tex3]

Mensagem não lidapor **lincoln1000** » 05 Ago 2017, 00:06

Olá,

Primeiro vamos encontrar as coordenadas dos vértices. Como E3 está em [tex3]y=5[/tex3] e ela intercepta a reta E1, basta colocar [tex3]y=5[/tex3] na equação da reta E1 que teremos [tex3]x=0[/tex3] , logo: [tex3]A=(0, 5)[/tex3]

Se fizermos o mesmo procedimento com a reta E2, substituindo o valor de [tex3]y[/tex3] para [tex3]5[/tex3] , teremos que [tex3]x=10[/tex3] , logo: [tex3]C=(10, 5)[/tex3]

Note que B é dada pela intercessão das retas E2 e E1, então temos que essas duas retas possuem um par ordenado em comum, basta igualar suas equações e encontraremos os valores para [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3]

[tex3]E1: y=\frac{5}{6}x+5[/tex3]
[tex3]E2: y=-\frac{5}{4}x+\frac{70}{4}[/tex3]
[tex3]E1 = E2[/tex3]
[tex3]\frac{5}{6}x+5 = -\frac{5}{4}x+\frac{70}{4}[/tex3]

Desenvolvendo, temos que [tex3]x=6[/tex3] .
Agora basta substituir o valor de [tex3]x[/tex3] em qualquer uma das equações (E1 ou E2). Teremos [tex3]y=10[/tex3]

[tex3]A = (0,5)[/tex3]
[tex3]B = (6,10)[/tex3]
[tex3]C = (10,5)[/tex3]

Depois de obter todas as coordenadas, para calcular a área do triângulo:
[tex3]S = \frac{1}{2}|\Delta |[/tex3]
[tex3]\Delta = \begin{vmatrix}
0 & 5 & 1\\
6 & 10 & 1\\
10 & 5 & 1
\end{vmatrix}[/tex3]

Resolvendo, temos que

[tex3]S = 25[/tex3]

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