Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Olimpíadas ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido
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Hanon
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Ago 2017
03
22:02
Equação Diofantina
(Torneio das Cidades 1997) Prove que a equação [tex3]x^2 + y^2 − z^2 = 1997[/tex3]
tem infinitas soluções inteiras [tex3](x, y, z)[/tex3]
.
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undefinied3
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Ago 2017
05
11:05
Re: Equação Diofantina
Consegui provar, chegando em casa eu digitalizo tudo direitinho, agora to na escola.
Apenas pra já deixar minha ideia, perceba que 1997 é um primo da forma 4k+1, então pode ser escrito como a soma de 2 quadrados. Isso significa que existe solução (x_o,y_o,0). Suponha que existe outra (kx_o,ky_o,z), substituindo na equação e utilizando que 1997=x_o^2+y_o^2, caimos numa equação de Pell com solução trivial (0,1), e assim, como existe uma solução, existem infinitas, e então provamos que existem infinitas ternas que podem ser formadas a partir da inicial que descobrimos, cada uma pra um valor diferente de k e de z.
Apenas pra já deixar minha ideia, perceba que 1997 é um primo da forma 4k+1, então pode ser escrito como a soma de 2 quadrados. Isso significa que existe solução (x_o,y_o,0). Suponha que existe outra (kx_o,ky_o,z), substituindo na equação e utilizando que 1997=x_o^2+y_o^2, caimos numa equação de Pell com solução trivial (0,1), e assim, como existe uma solução, existem infinitas, e então provamos que existem infinitas ternas que podem ser formadas a partir da inicial que descobrimos, cada uma pra um valor diferente de k e de z.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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undefinied3
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Ago 2017
05
14:11
Re: Equação Diofantina
Segue minha solução.
A primeira coisa que salta aos olhos é que 1997 é primo. Isso torna complicado pensar em qualquer aritimética modular porque só analisando [tex3]mod \ 1977[/tex3] que conseguiremos deixar o lado esquerdo congruente a zero, e trabalhar com esse módulo é impensável.
Como dito, [tex3]1997=4.499+1[/tex3] , e sendo primo, segue que podemos escrevê-lo como a soma de dois quadrados (utilizaremos tal fato sem demonstrar porque é muito complicado). De fato, apesar de não ser necessário apresentar esses dois quadrados, temos que [tex3]1997=29^2+34^2[/tex3] . Isso é muito importante, porque então basta tomar [tex3]z=0[/tex3] e já teremos uma solução que podemos utilizar para chegar em outras, não explicitamente porque não precisamos mostrá-la. Faremos isso então.
Seja [tex3]x_0=29[/tex3] e [tex3]y_0=34[/tex3] , então [tex3](x_0, y_0,0)[/tex3] é uma solução para nossa equação. Veja o seguinte:
[tex3]x^2+y^2-z^2=1997 \rightarrow x^2+y^2=1997+z^2[/tex3]
Tal equação é a equação de uma circunferência centrada na origem e de raio [tex3]\sqrt{1997+z^2}[/tex3] . Queremos provar que existem infinitos pontos que essa circunferência passa, de coordenadas inteiras, no plano cartesiano. Como já conhecemos um desses pontos, é interessante pensar se existe um fator [tex3]k[/tex3] multiplicativo de nossa solução inicial que nos forneça outra circunferência com um raio [tex3]\sqrt{1997+z'^2}[/tex3] , [tex3]z'[/tex3] inteiro
Vamos substituir, então, [tex3]x=k.x_0[/tex3]
e [tex3]y=k.y_0[/tex3]
na equação original e tentar encontrar um valor inteiro para k e z.
[tex3]k^2.x_0^2+k^2.y_0^2-z^2=1997 \rightarrow k^2(x_0^2+y_0^2)-z^2=1997[/tex3]
Mas sabemos que [tex3]x_0^2+y_0^2=1997[/tex3] , assim:
[tex3]1997k^2-z^2=1997 \rightarrow z^2-1997k^2=-1997[/tex3]
Que é uma equação generalizade de Pell. Se provarmos que ela tem uma solução, então estará resolvido o problema, pois se uma equação de Pell tem uma solução, ela sempre terá infinitas. Isso porque se existe solução para [tex3]a^2-D.b^2=N[/tex3] , como SEMPRE existem infinitas soluções para a equação auxiliar [tex3]a^2-D.b^2=1[/tex3] , podemos multiplicar as soluções pela fórmula de Brahmagupta e obter uma segunda solução para equação original. Iterando o processo, obtemos infinitas, pois as soluções sempre crescentes e portanto não cíclicas.
De fato, [tex3]z=0[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é uma solução trivial para a equação acima, e na verdade, no geral, veja que [tex3]a^2-D.b^2=-D[/tex3] sempre terá infinitas soluções devido a essa solução trivial. E assim, terminamos o problema, pois existem portanto infinitos valores de k e z, ambos inteiros, tal que [tex3](k.x_0,k.y_0,z)=(29k,34k,z)[/tex3] é solução da equação.
A primeira coisa que salta aos olhos é que 1997 é primo. Isso torna complicado pensar em qualquer aritimética modular porque só analisando [tex3]mod \ 1977[/tex3] que conseguiremos deixar o lado esquerdo congruente a zero, e trabalhar com esse módulo é impensável.
Como dito, [tex3]1997=4.499+1[/tex3] , e sendo primo, segue que podemos escrevê-lo como a soma de dois quadrados (utilizaremos tal fato sem demonstrar porque é muito complicado). De fato, apesar de não ser necessário apresentar esses dois quadrados, temos que [tex3]1997=29^2+34^2[/tex3] . Isso é muito importante, porque então basta tomar [tex3]z=0[/tex3] e já teremos uma solução que podemos utilizar para chegar em outras, não explicitamente porque não precisamos mostrá-la. Faremos isso então.
Seja [tex3]x_0=29[/tex3] e [tex3]y_0=34[/tex3] , então [tex3](x_0, y_0,0)[/tex3] é uma solução para nossa equação. Veja o seguinte:
[tex3]x^2+y^2-z^2=1997 \rightarrow x^2+y^2=1997+z^2[/tex3]
Tal equação é a equação de uma circunferência centrada na origem e de raio [tex3]\sqrt{1997+z^2}[/tex3] . Queremos provar que existem infinitos pontos que essa circunferência passa, de coordenadas inteiras, no plano cartesiano. Como já conhecemos um desses pontos, é interessante pensar se existe um fator [tex3]k[/tex3] multiplicativo de nossa solução inicial que nos forneça outra circunferência com um raio [tex3]\sqrt{1997+z'^2}[/tex3] , [tex3]z'[/tex3] inteiro
[tex3]k^2.x_0^2+k^2.y_0^2-z^2=1997 \rightarrow k^2(x_0^2+y_0^2)-z^2=1997[/tex3]
Mas sabemos que [tex3]x_0^2+y_0^2=1997[/tex3] , assim:
[tex3]1997k^2-z^2=1997 \rightarrow z^2-1997k^2=-1997[/tex3]
Que é uma equação generalizade de Pell. Se provarmos que ela tem uma solução, então estará resolvido o problema, pois se uma equação de Pell tem uma solução, ela sempre terá infinitas. Isso porque se existe solução para [tex3]a^2-D.b^2=N[/tex3] , como SEMPRE existem infinitas soluções para a equação auxiliar [tex3]a^2-D.b^2=1[/tex3] , podemos multiplicar as soluções pela fórmula de Brahmagupta e obter uma segunda solução para equação original. Iterando o processo, obtemos infinitas, pois as soluções sempre crescentes e portanto não cíclicas.
De fato, [tex3]z=0[/tex3] e [tex3]k=1[/tex3] é uma solução trivial para a equação acima, e na verdade, no geral, veja que [tex3]a^2-D.b^2=-D[/tex3] sempre terá infinitas soluções devido a essa solução trivial. E assim, terminamos o problema, pois existem portanto infinitos valores de k e z, ambos inteiros, tal que [tex3](k.x_0,k.y_0,z)=(29k,34k,z)[/tex3] é solução da equação.
Editado pela última vez por undefinied3 em 05 Ago 2017, 14:50, em um total de 1 vez.
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LucasPinafi
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