Ensino Fundamental

Os lados de um retângulo medem 6 e 8,calcular a medida da diagonal do quadrilátero que se forma ao intersectar suas bissetrizes exteriores.
a)10
b)14
c)12
d)20
e)21
r:b

Mensagem não lidapor **rodBR** » Qui 03 Ago, 2017 15:54 · Mensagem não lida por **rodBR** » Qui 03 Ago, 2017 15:54

Olá Angelita, Boa tarde.

Seja [tex3]ABCD[/tex3] um retângulo, as bissetrizes externas a ele se encontrarem para formar o quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3] , veja na imagem abaixo:

: 333.png (12.7 KiB) Exibido 608 vezes

Dessa construção, perceba que teremos quatro triângulos isósceles, iguais dois a dois, de bases(trata-se do lado "diferente") medindo 8 e 6. Além disso, pelo fato de serem bissetrizes, vai implicar que todos os triângulos serão isósceles_retângulo. Logo, podemos aplicar a relação trigonométrica cosseno, fazendo isso para encontrar ium lado desse quadrilátero. Observe que fazendo isso o quadrilátero [tex3]EFGH[/tex3] é um quadrado, pois os ângulos são retos e os lados são iguais. Para finalizar foi pedido o comprimento de uma diagonal, como as diagonais de um quadrado são iguais e calculada por [tex3]D=l\sqrt{2}[/tex3] basta que vc substitua o lado encontrado na fórmula da diagonal.

Resolução:
Do [tex3]\Delta BFM[/tex3] :
[tex3]\cos 45°=\frac{4}{\overline{BF}}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{4}{\overline{BF}} \ \ \therefore \ \ \overline{BF}=4\sqrt{2}[/tex3]

Do [tex3]\Delta EBN[/tex3] :
[tex3]\cos 45°=\frac{3}{\overline{BE}}[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{\overline{EB}} \ \ \therefore \ \ \overline{EB}=3\sqrt{2}[/tex3]

Logo, o lado do quadrado mede:
[tex3]l= \overline{EB}+\overline{BF}⟹l=7\sqrt{2}[/tex3]

Portanto, a diagonal é:
[tex3]D=l\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]D=7\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}[/tex3]
[tex3]D=7\cdot \sqrt{4}[/tex3]
[tex3]D=7\cdot 2⟹D=14[/tex3]

Att>>rodBR

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