Ensino Médio ⇒ Desigualdade com triângulos Tópico resolvido

[undefinied3]

Se a, b e c são lados de um triângulo e p é seu semiperímetro, então prove que vale a desigualdade a seguir:
[tex3](p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{abc}{8}[/tex3]

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[tex3](p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{abc}{8}[/tex3]

[Ittalo25]

[tex3](p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{abc}{8}[/tex3]

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[tex3](p-a)(p-b)(p-c) \leq \frac{abc}{8}[/tex3]

[tex3](-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \leq abc[/tex3]

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[tex3](-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \leq abc[/tex3]

Fazendo:

[tex3]\begin{cases}
-a+b+c=x \\
a-b+c=y \\
a+b-c=z
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
-a+b+c=x \\
a-b+c=y \\
a+b-c=z
\end{cases}[/tex3]

x é maior que zero, já que pela desigualdade triangular: [tex3]b+c>a [/tex3]

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[tex3]b+c>a [/tex3]

o mesmo argumento vale para y e z.

[tex3]8xyz \leq (x+y)(x+z)(z+y)[/tex3]

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[tex3]8xyz \leq (x+y)(x+z)(z+y)[/tex3]

Pela desigualdade entre médias:

[tex3]\begin{cases}
x+y \geq 2\sqrt{xy} \\
x+z \geq 2\sqrt{xz} \\
z+y \geq 2\sqrt{zy}
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x+y \geq 2\sqrt{xy} \\
x+z \geq 2\sqrt{xz} \\
z+y \geq 2\sqrt{zy}
\end{cases}[/tex3]

Multiplicando tudo dá o resultado desejado.

[Auto Excluído (ID:12031)]

Desigualdade de Euler: [tex3]2r \leq R[/tex3]

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[tex3]2r \leq R[/tex3]

[tex3]2\frac{S}{p} \leq \frac{abc}{4S}[/tex3]

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[tex3]2\frac{S}{p} \leq \frac{abc}{4S}[/tex3]