Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a
a) 5/9
b) 4/9
c) 1/3
d) 2/9
e) 1/9
Eu tentei dessa forma:
Desenhei uma pirâmide quadrada. Cada aresta dela mede 1. Assinalei o baricentro em cada face lateral e liguei os pontos.
A altura do triângulo equilátero (faces laterais) é √3/2. Como o baricentro divide a altura em um segmento de razão 2:1, então o vértice do quadrado que está na face lateral voltada para mim até a aresta do quadrado da base mede √3/6 (√3/2*1/3= √3/6)
Sendo G o baricentro, M o ponto médio do triângulo equilátero da face lateral voltada para mim e A o vértice do triângulo equilátero.
Como a altura do triângulo equilátero divide o lado da base ao meio, então, ligando o baricentro G ao vértice A do triângulo equilátero, temos um triângulo retângulo GMA.
Calculando a hipotenusa GA dessa triângulo, temos GA²= (√3/6)² + (1/2)²
GA= √3/3
Sendo ∝ o ângulo GÂM, sen ∝= 1/2 ---> ∝= 30º
Fazendo exatamente os mesmo passos com uma das faces adjacentes, o ângulo entre as duas hipotenusas dos triângulos retângulos formados é: 30º + 30º = 60º. Como as duas hipotenusas são iguais a GA= √3/3, então o lado do quadrado também vai ser= √3/3.
Área= lado²= (√3/3)²
Área= 3/9 = 1/3, mas está errado... O gabarito mostra 2/9 como alternativa correta. Onde estou errando??? Alguém pode me ajudar, por favor??
Pré-Vestibular ⇒ (Fuvest) Pirâmide quadrada Tópico resolvido
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Ago 2017
01
15:00
Re: (Fuvest) Pirâmide quadrada
Seja O o centro do quadrado. Suponha que ele está em (0, 0, 0) em um sistema x0y0z. Os vértices do quadrado serão:
A(1/2, 1/2, 0)
B(-1/2, 1/2, 0)
C(-1/2, -1/2, 0)
D(1/2 ,-1/2, 0)
Temos que [tex3]\overline{AO} = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . A altura será [tex3]H= \sqrt{1- \frac 1 2 } = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . Assim, seja H(0, 0, [tex3]\sqrt 2 /2[/tex3] ). Cálculo de dois dos baricentros:
[tex3]G_1 = \frac{A+B+H}{3} = \frac{(1/2 , 1/2, 0) +(-1/2, 1/2, 0) + (0, 0, \sqrt 2/2) }{3} = \frac{(0, 1, \sqrt 2 /2)}{3} = \left(0, \frac 1 3, \frac{\sqrt 2 } 6 \right)[/tex3]
[tex3]G_2 = \frac{A+D+H}{3} = \left( \frac{1}{3}, 0, \frac {\sqrt 2 } 6 \right) [/tex3]
Segue que o lado do quadrado será [tex3]\ell = \overline{G_1G_2} = \sqrt{\left( \frac 1 3 - 0 \right)^2 +\left(0 - \frac 1 3 \right)^2 +\left( \frac {\sqrt 2 } 6 - \frac{\sqrt 2 } 6 \right)^2} = \frac{\sqrt 2 }{3}[/tex3] . A área será [tex3]\ell^2 = \frac 2 9 [/tex3] .
A(1/2, 1/2, 0)
B(-1/2, 1/2, 0)
C(-1/2, -1/2, 0)
D(1/2 ,-1/2, 0)
Temos que [tex3]\overline{AO} = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . A altura será [tex3]H= \sqrt{1- \frac 1 2 } = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . Assim, seja H(0, 0, [tex3]\sqrt 2 /2[/tex3] ). Cálculo de dois dos baricentros:
[tex3]G_1 = \frac{A+B+H}{3} = \frac{(1/2 , 1/2, 0) +(-1/2, 1/2, 0) + (0, 0, \sqrt 2/2) }{3} = \frac{(0, 1, \sqrt 2 /2)}{3} = \left(0, \frac 1 3, \frac{\sqrt 2 } 6 \right)[/tex3]
[tex3]G_2 = \frac{A+D+H}{3} = \left( \frac{1}{3}, 0, \frac {\sqrt 2 } 6 \right) [/tex3]
Segue que o lado do quadrado será [tex3]\ell = \overline{G_1G_2} = \sqrt{\left( \frac 1 3 - 0 \right)^2 +\left(0 - \frac 1 3 \right)^2 +\left( \frac {\sqrt 2 } 6 - \frac{\sqrt 2 } 6 \right)^2} = \frac{\sqrt 2 }{3}[/tex3] . A área será [tex3]\ell^2 = \frac 2 9 [/tex3] .
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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Ago 2017
06
21:49
Re: (Fuvest) Pirâmide quadrada
Eu sei que está um pouco atrasado e que já tem resposta, mas decidi postar uma outra abordagem. Observe o anexo :
Veja a semelhança entre os triângulos azul e vermelho. As medidas de cada que vamos usar são :
Para o azul [tex3]\rightarrow[/tex3]
Altura lateral (HL) e apótema da base (ap.B);
Para o vermelho [tex3]\rightarrow[/tex3]
2/3 da altura lateral (HL) e metade da diagonal do quadrado pedido (Dq);
Lembrando que o baricentro corta um segmento em proporção 2:1, e sendo um triângulo equilátero, o baricentro corta a altura em 2/3 e 1/3.
O apótema de um quadrado é L/2. Sendo L = 1, ap.B = 1/2 cm...
Fazendo a semelhança (azul - vermelho) :
HL / (1/2) = (2/3) * HL / (Dq/2)
1 / (1/2) = (2/3) / (Dq/2)
2 = 2/(3 * Dq/2)
1 = 1 / (3 * Dq/2)
3 * Dq/2 = 1
Dq/2 = 1/3
Dq = 2/3 [tex3]\rightarrow[/tex3] Diagonal do quadrado pedido !
Para um quadrado, Dq = L * √2
(Dq [tex3]\rightarrow[/tex3] diagonal do quadrado e L [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado)
Sendo Dq = 2/3 a diagonal do quadrado pedido, então :
2/3 = L * √2
2/(3 * √2) = L
L = √2 / 3 cm [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado pedido !
Por fim, para esse quadrado, Área = L²
A = (√2 / 3)²
A = 2 / 9 cm² [tex3]\rightarrow[/tex3] Achamos a área pedida !
Veja a semelhança entre os triângulos azul e vermelho. As medidas de cada que vamos usar são :
Para o azul [tex3]\rightarrow[/tex3]
Altura lateral (HL) e apótema da base (ap.B);
Para o vermelho [tex3]\rightarrow[/tex3]
2/3 da altura lateral (HL) e metade da diagonal do quadrado pedido (Dq);
Lembrando que o baricentro corta um segmento em proporção 2:1, e sendo um triângulo equilátero, o baricentro corta a altura em 2/3 e 1/3.
O apótema de um quadrado é L/2. Sendo L = 1, ap.B = 1/2 cm...
Fazendo a semelhança (azul - vermelho) :
HL / (1/2) = (2/3) * HL / (Dq/2)
1 / (1/2) = (2/3) / (Dq/2)
2 = 2/(3 * Dq/2)
1 = 1 / (3 * Dq/2)
3 * Dq/2 = 1
Dq/2 = 1/3
Dq = 2/3 [tex3]\rightarrow[/tex3] Diagonal do quadrado pedido !
Para um quadrado, Dq = L * √2
(Dq [tex3]\rightarrow[/tex3] diagonal do quadrado e L [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado)
Sendo Dq = 2/3 a diagonal do quadrado pedido, então :
2/3 = L * √2
2/(3 * √2) = L
L = √2 / 3 cm [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado pedido !
Por fim, para esse quadrado, Área = L²
A = (√2 / 3)²
A = 2 / 9 cm² [tex3]\rightarrow[/tex3] Achamos a área pedida !
Última edição: joaopcarv (Dom 06 Ago, 2017 21:50). Total de 1 vez.
That's all I'd do all day. I'd just be the catcher in the rye and all.
"Last year's wishes are this year's apologies... Every last time I come home (...)"
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