Pré-Vestibular(Fuvest) Pirâmide quadrada Tópico resolvido

Poste aqui problemas de Vestibulares. Informe a fonte, o ano e o assunto. Exemplo: (FUVEST - 2008) Logaritmos.

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Liliana
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Jul 2017 31 12:26

(Fuvest) Pirâmide quadrada

Mensagem não lida por Liliana » Seg 31 Jul, 2017 12:26

Uma pirâmide tem como base um quadrado de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo equilátero. Então, a área do quadrado, que tem como vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é igual a

a) 5/9
b) 4/9
c) 1/3
d) 2/9
e) 1/9

Eu tentei dessa forma:
Desenhei uma pirâmide quadrada. Cada aresta dela mede 1. Assinalei o baricentro em cada face lateral e liguei os pontos.
A altura do triângulo equilátero (faces laterais) é √3/2. Como o baricentro divide a altura em um segmento de razão 2:1, então o vértice do quadrado que está na face lateral voltada para mim até a aresta do quadrado da base mede √3/6 (√3/2*1/3= √3/6)
Sendo G o baricentro, M o ponto médio do triângulo equilátero da face lateral voltada para mim e A o vértice do triângulo equilátero.
Como a altura do triângulo equilátero divide o lado da base ao meio, então, ligando o baricentro G ao vértice A do triângulo equilátero, temos um triângulo retângulo GMA.
Calculando a hipotenusa GA dessa triângulo, temos GA²= (√3/6)² + (1/2)²
GA= √3/3
Sendo ∝ o ângulo GÂM, sen ∝= 1/2 ---> ∝= 30º
Fazendo exatamente os mesmo passos com uma das faces adjacentes, o ângulo entre as duas hipotenusas dos triângulos retângulos formados é: 30º + 30º = 60º. Como as duas hipotenusas são iguais a GA= √3/3, então o lado do quadrado também vai ser= √3/3.
Área= lado²= (√3/3)²
Área= 3/9 = 1/3, mas está errado... O gabarito mostra 2/9 como alternativa correta. Onde estou errando??? Alguém pode me ajudar, por favor??




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LucasPinafi
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Ago 2017 01 15:00

Re: (Fuvest) Pirâmide quadrada

Mensagem não lida por LucasPinafi » Ter 01 Ago, 2017 15:00

Seja O o centro do quadrado. Suponha que ele está em (0, 0, 0) em um sistema x0y0z. Os vértices do quadrado serão:
A(1/2, 1/2, 0)
B(-1/2, 1/2, 0)
C(-1/2, -1/2, 0)
D(1/2 ,-1/2, 0)
Temos que [tex3]\overline{AO} = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . A altura será [tex3]H= \sqrt{1- \frac 1 2 } = \frac{\sqrt 2 }{2}[/tex3] . Assim, seja H(0, 0, [tex3]\sqrt 2 /2[/tex3] ). Cálculo de dois dos baricentros:
[tex3]G_1 = \frac{A+B+H}{3} = \frac{(1/2 , 1/2, 0) +(-1/2, 1/2, 0) + (0, 0, \sqrt 2/2) }{3} = \frac{(0, 1, \sqrt 2 /2)}{3} = \left(0, \frac 1 3, \frac{\sqrt 2 } 6 \right)[/tex3]
[tex3]G_2 = \frac{A+D+H}{3} = \left( \frac{1}{3}, 0, \frac {\sqrt 2 } 6 \right) [/tex3]
Segue que o lado do quadrado será [tex3]\ell = \overline{G_1G_2} = \sqrt{\left( \frac 1 3 - 0 \right)^2 +\left(0 - \frac 1 3 \right)^2 +\left( \frac {\sqrt 2 } 6 - \frac{\sqrt 2 } 6 \right)^2} = \frac{\sqrt 2 }{3}[/tex3] . A área será [tex3]\ell^2 = \frac 2 9 [/tex3] .



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joaopcarv
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Ago 2017 06 21:49

Re: (Fuvest) Pirâmide quadrada

Mensagem não lida por joaopcarv » Dom 06 Ago, 2017 21:49

Eu sei que está um pouco atrasado e que já tem resposta, mas decidi postar uma outra abordagem. Observe o anexo :

Veja a semelhança entre os triângulos azul e vermelho. As medidas de cada que vamos usar são :

Para o azul [tex3]\rightarrow[/tex3]

Altura lateral (HL) e apótema da base (ap.B);

Para o vermelho [tex3]\rightarrow[/tex3]

2/3 da altura lateral (HL) e metade da diagonal do quadrado pedido (Dq);

Lembrando que o baricentro corta um segmento em proporção 2:1, e sendo um triângulo equilátero, o baricentro corta a altura em 2/3 e 1/3.

O apótema de um quadrado é L/2. Sendo L = 1, ap.B = 1/2 cm...

Fazendo a semelhança (azul - vermelho) :

HL / (1/2) = (2/3) * HL / (Dq/2)

1 / (1/2) = (2/3) / (Dq/2)

2 = 2/(3 * Dq/2)

1 = 1 / (3 * Dq/2)

3 * Dq/2 = 1

Dq/2 = 1/3

Dq = 2/3[tex3]\rightarrow[/tex3] Diagonal do quadrado pedido !

Para um quadrado, Dq = L * √2
(Dq [tex3]\rightarrow[/tex3] diagonal do quadrado e L [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado)

Sendo Dq = 2/3 a diagonal do quadrado pedido, então :

2/3 = L * √2

2/(3 * √2) = L

L = √2 / 3 cm [tex3]\rightarrow[/tex3] lado do quadrado pedido !

Por fim, para esse quadrado, Área = L²

A = (√2 / 3)²

A = 2 / 9 cm² [tex3]\rightarrow[/tex3] Achamos a área pedida !
Anexos
pir.jpg
Última edição: joaopcarv (Dom 06 Ago, 2017 21:50). Total de 1 vez.


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Re: (Fuvest) Pirâmide quadrada

Mensagem não lida por Liliana » Qua 09 Ago, 2017 17:07

Muitíssimo obrigada gente!!! :D




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