IME / ITA ⇒ Equação Diofantina IV Tópico resolvido
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Hanon 
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Jul 2017
29
22:25
Equação Diofantina IV
Seja [tex3]x \ \ e \ \ y[/tex3]
inteiros resolver a equação: [tex3]13^{x}+3=y^{2}[/tex3]
.
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undefinied3 
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Jul 2017
29
23:26
Re: Equação Diofantina IV
Suponha [tex3]x=2k[/tex3]
[tex3]3=y^2-13^{2k}=(y+13^k)(y-13^k)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+13^k=3 \\
y-13^k=1
\end{cases} \rightarrow y=2, \ k=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+13^k=-1 \\
y-13^k=-3
\end{cases} \rightarrow y=-2, \ k=0[/tex3]
Pra x ímpar, a solução única é x=1 e [tex3]y=\pm 4[/tex3] , pois:
[tex3]3=(y+13^p\sqrt{13})(y-13^p\sqrt{13}) \rightarrow (4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})=(y+13^p\sqrt{13})(y-13^p\sqrt{13})[/tex3]
E me parece que [tex3](4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})[/tex3] é a fatoração irredutível de [tex3]3[/tex3] em [tex3]Z[\sqrt{3}][/tex3] . Não fiquei muito satisfeito com a solução :/
[tex3]3=y^2-13^{2k}=(y+13^k)(y-13^k)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+13^k=3 \\
y-13^k=1
\end{cases} \rightarrow y=2, \ k=0[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
y+13^k=-1 \\
y-13^k=-3
\end{cases} \rightarrow y=-2, \ k=0[/tex3]
Pra x ímpar, a solução única é x=1 e [tex3]y=\pm 4[/tex3] , pois:
[tex3]3=(y+13^p\sqrt{13})(y-13^p\sqrt{13}) \rightarrow (4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})=(y+13^p\sqrt{13})(y-13^p\sqrt{13})[/tex3]
E me parece que [tex3](4+\sqrt{13})(4-\sqrt{13})[/tex3] é a fatoração irredutível de [tex3]3[/tex3] em [tex3]Z[\sqrt{3}][/tex3] . Não fiquei muito satisfeito com a solução :/
Última edição: undefinied3 (Dom 30 Jul, 2017 00:32). Total de 3 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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undefinied3
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Jul 2017
30
02:09
Re: Equação Diofantina IV
Isso é mais decente:
Obviamente y é par, mas lhe afirmo mais que isso, ele será múltiplo de 4, basta aplicar módulo 4:
[tex3]13+3 \equiv 1+3 \equiv 0 \equiv y^2 \ (mod \ 4)[/tex3] , assim:
[tex3]13^k+3=16t^2 \rightarrow 13^k-13=16t^2-16=16(t+1)(t-1) \rightarrow 13(13^{k-1}-1)=16(t+1)(t-1)[/tex3]
Já sabemos que [tex3]t=1 \rightarrow y=4[/tex3] com [tex3]k=1[/tex3] é solução. Suponha [tex3]k > 1[/tex3] . Como 16 não divide 13, segue que [tex3]t+1[/tex3] ou [tex3]t-1[/tex3] deve dividr 13, ou seja, teríamos t=12 ou t=14 como possibilidades, veja que nenhum caso fornece solução:
[tex3]13^x+3=48^2 \rightarrow 13^x=2301[/tex3]
[tex3]13^x+3=56^2 \rightarrow 13^x=3133[/tex3]
Então de fato aquela solução para x ímpar é única.
Agora, apenas ajeitando meu último post, creio que [tex3]Z[\sqrt{13}][/tex3] não é um domínio de fatoração única, mas [tex3]Z[\sqrt{3}][/tex3] é, então poderíamos fazer:
[tex3]13^x=y^2-3 \rightarrow (4+\sqrt{3})^x(4-\sqrt{3})^x=(y+\sqrt{3})(y-\sqrt{3})[/tex3]
De onde, como o domínio é um DFU, teríamos obrigatoriamente que [tex3](4+\sqrt{3})^n=y+\sqrt{3} \rightarrow y=4, \ n=1[/tex3] , mas essa é uma solução nada elementar que confesso que fui pesquisar só pra resolver esse problema, pois sinceramente não precisa saber disso pra resolver esses exercícios mesmo em nível olímpico. A ideia de tudo isso é manter as propriedades da unicidade da fatoração em primos mesmo em um outro anel conveniente em que consigamos fatorar a expressão. Essa propriedade DFU garante essa unicidade, mas nem todo [tex3]Z[\sqrt{n}][/tex3] irá apresentar essa propriedade.
A propósito, de onde pegou a questão?
Obviamente y é par, mas lhe afirmo mais que isso, ele será múltiplo de 4, basta aplicar módulo 4:
[tex3]13+3 \equiv 1+3 \equiv 0 \equiv y^2 \ (mod \ 4)[/tex3] , assim:
[tex3]13^k+3=16t^2 \rightarrow 13^k-13=16t^2-16=16(t+1)(t-1) \rightarrow 13(13^{k-1}-1)=16(t+1)(t-1)[/tex3]
Já sabemos que [tex3]t=1 \rightarrow y=4[/tex3] com [tex3]k=1[/tex3] é solução. Suponha [tex3]k > 1[/tex3] . Como 16 não divide 13, segue que [tex3]t+1[/tex3] ou [tex3]t-1[/tex3] deve dividr 13, ou seja, teríamos t=12 ou t=14 como possibilidades, veja que nenhum caso fornece solução:
[tex3]13^x+3=48^2 \rightarrow 13^x=2301[/tex3]
[tex3]13^x+3=56^2 \rightarrow 13^x=3133[/tex3]
Então de fato aquela solução para x ímpar é única.
Agora, apenas ajeitando meu último post, creio que [tex3]Z[\sqrt{13}][/tex3] não é um domínio de fatoração única, mas [tex3]Z[\sqrt{3}][/tex3] é, então poderíamos fazer:
[tex3]13^x=y^2-3 \rightarrow (4+\sqrt{3})^x(4-\sqrt{3})^x=(y+\sqrt{3})(y-\sqrt{3})[/tex3]
De onde, como o domínio é um DFU, teríamos obrigatoriamente que [tex3](4+\sqrt{3})^n=y+\sqrt{3} \rightarrow y=4, \ n=1[/tex3] , mas essa é uma solução nada elementar que confesso que fui pesquisar só pra resolver esse problema, pois sinceramente não precisa saber disso pra resolver esses exercícios mesmo em nível olímpico. A ideia de tudo isso é manter as propriedades da unicidade da fatoração em primos mesmo em um outro anel conveniente em que consigamos fatorar a expressão. Essa propriedade DFU garante essa unicidade, mas nem todo [tex3]Z[\sqrt{n}][/tex3] irá apresentar essa propriedade.
A propósito, de onde pegou a questão?
Última edição: undefinied3 (Dom 30 Jul, 2017 02:13). Total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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Hanon
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Jul 2017
30
12:37
Re: Equação Diofantina IV
Muito obrigado undefinied3 ! não coloquei a fonte da questão, pois foi um amigo que enviou pra mim. Pesquisei e encontrei no livro: An introduction to Diophantine Equations a Problem (Titu Andreescu) : https://diendantoanhoc.net/index.php?ap ... h_id=30026 ver problema 1 da página 177.
Última edição: Hanon (Dom 30 Jul, 2017 12:52). Total de 1 vez.
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Hanon
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Jul 2017
30
12:54
Re: Equação Diofantina IV
Coloquei na msg acima o link do livro e a respectiva página onde encontra-se o problema.
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