Ache todas as soluções inteiras positivas do segundo sistema:
[tex3]\begin{cases}
x+1=a^2\\
x^2-1=b^3
\end{cases}[/tex3]
IME / ITA ⇒ Teoria dos números Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Andre13000 
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Jul 2017
29
20:17
Teoria dos números
“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman
Jul 2017
29
20:29
Re: Teoria dos números
To pelo celular aqui, mas não basta somar as duas equações, resolver a equação do segundo grau em x e fazer o delta ser um quadrado perfeito?
Atente que a é um inteiro positivo
E b é um inteiro não negativo
Atente que a é um inteiro positivo
E b é um inteiro não negativo
Última edição: Ittalo25 (Sáb 29 Jul, 2017 20:31). Total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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undefinied3 
- Mensagens: 1483
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- Última visita: 30-09-22
Jul 2017
29
21:28
Re: Teoria dos números
Divindindo as duas: [tex3]x-1=\frac{b^3}{a^2} \rightarrow x=\frac{b^3}{a^2}+1[/tex3]
Mas somando com a outra
[tex3]2x=a^2+\frac{b^3}{a^2}[/tex3]
Assim:
[tex3]2+\frac{2b^3}{a^2}=a^2+\frac{b^3}{a^2} \rightarrow 2=a^2-\frac{b^3}{a^2} \rightarrow a^4-2a^2-b^3=0[/tex3]
[tex3]\Delta = 4+4b^3=t^2 \rightarrow 4b^3=(t+2)(t-2)[/tex3] , veja que t não pode ser ímpar, assim [tex3]t=2u[/tex3]
[tex3]b^3=u^2-1[/tex3]
Cuja soluções únicas são (-1,0) (0,+-1), (2,+-3).
Só que demonstrar isso é bizarro de difícil, é uma equação de Mordell que a prova da unicidade não sai por simples aritimética modular...
Então [tex3]b=2[/tex3] e [tex3]t=6[/tex3] , de modo que [tex3]Delta=36[/tex3] . Resta verificar se a será inteiro
[tex3]a^2=\frac{2+6}{2}=4 \rightarrow a=2[/tex3] , de fato é.
Então a única solução é (x,a,b)=(3,2,2)
Deve ter um jeito melhor sem cair naquela equação...
Uma observação é que, respondendo ao comentário do Ittalo, eu não faço a menor ideia de como forçar o delta da soma das equações ser um quadrado perfeito. Se alguém puder desenvolver a ideia...
Mas somando com a outra
[tex3]2x=a^2+\frac{b^3}{a^2}[/tex3]
Assim:
[tex3]2+\frac{2b^3}{a^2}=a^2+\frac{b^3}{a^2} \rightarrow 2=a^2-\frac{b^3}{a^2} \rightarrow a^4-2a^2-b^3=0[/tex3]
[tex3]\Delta = 4+4b^3=t^2 \rightarrow 4b^3=(t+2)(t-2)[/tex3] , veja que t não pode ser ímpar, assim [tex3]t=2u[/tex3]
[tex3]b^3=u^2-1[/tex3]
Cuja soluções únicas são (-1,0) (0,+-1), (2,+-3).
Só que demonstrar isso é bizarro de difícil, é uma equação de Mordell que a prova da unicidade não sai por simples aritimética modular...
Então [tex3]b=2[/tex3] e [tex3]t=6[/tex3] , de modo que [tex3]Delta=36[/tex3] . Resta verificar se a será inteiro
[tex3]a^2=\frac{2+6}{2}=4 \rightarrow a=2[/tex3] , de fato é.
Então a única solução é (x,a,b)=(3,2,2)
Deve ter um jeito melhor sem cair naquela equação...
Uma observação é que, respondendo ao comentário do Ittalo, eu não faço a menor ideia de como forçar o delta da soma das equações ser um quadrado perfeito. Se alguém puder desenvolver a ideia...
Última edição: undefinied3 (Sáb 29 Jul, 2017 21:32). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Jul 2017
30
21:52
Re: Teoria dos números
Fazendo [tex3]b = ay [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+1=a^2\\
x^2-1=a^3y^3
\end{cases}[/tex3]
dividindo as duas:
[tex3]x-1 = ay^3[/tex3]
substituindo o valor de x da primeira equação:
[tex3]a^2-1-1 = ay^3[/tex3]
[tex3]a^2-ay^3-2 = 0[/tex3]
O delta disso é [tex3]y^6 + 8 [/tex3] , que deve ser um quadrado perfeito:
[tex3]y^6 + 8 = k^2 [/tex3]
[tex3]8 = (k-y^3) \cdot (k+y^3) [/tex3]
são 2 casos:
[tex3]\begin{cases}
k+y^3=8 \\
k-y^3=1
\end{cases}[/tex3]
sem solução inteira
[tex3]\begin{cases}
k+y^3=4 \\
k-y^3=2
\end{cases}[/tex3]
isso dá y igual a 1
voltando lá:
[tex3]a^2-ay^3-2 = 0[/tex3]
[tex3]a^2-a-2 = 0[/tex3]
[tex3]a = 2[/tex3]
Portanto a única solução inteira positiva é [tex3](x,a,b) = (3,2,2) [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+1=a^2\\
x^2-1=a^3y^3
\end{cases}[/tex3]
dividindo as duas:
[tex3]x-1 = ay^3[/tex3]
substituindo o valor de x da primeira equação:
[tex3]a^2-1-1 = ay^3[/tex3]
[tex3]a^2-ay^3-2 = 0[/tex3]
O delta disso é [tex3]y^6 + 8 [/tex3] , que deve ser um quadrado perfeito:
[tex3]y^6 + 8 = k^2 [/tex3]
[tex3]8 = (k-y^3) \cdot (k+y^3) [/tex3]
são 2 casos:
[tex3]\begin{cases}
k+y^3=8 \\
k-y^3=1
\end{cases}[/tex3]
sem solução inteira
[tex3]\begin{cases}
k+y^3=4 \\
k-y^3=2
\end{cases}[/tex3]
isso dá y igual a 1
voltando lá:
[tex3]a^2-ay^3-2 = 0[/tex3]
[tex3]a^2-a-2 = 0[/tex3]
[tex3]a = 2[/tex3]
Portanto a única solução inteira positiva é [tex3](x,a,b) = (3,2,2) [/tex3]
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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