Ensino Médio ⇒ Equação Diofantina Tópico resolvido

[Hanon]

Encontre as soluções inteiras positivas da equação [tex3]13x + 21y = 261[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]13x + 21y = 261[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

como 13 e 21 são primos entre si. Existem inteiros A e B tais que
[tex3]13A+21B = 1[/tex3]

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[tex3]13A+21B = 1[/tex3]

faça por tentativa, ajuda ter alguma visão mas não é obrigatório.
uma visão seria por exemplo que [tex3]A \equiv -1 \mod 7[/tex3]

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[tex3]A \equiv -1 \mod 7[/tex3]

logo as tentativas ficam mais rápidas
repara que o que chamei de visão aqui foi aplicar mod7 dos dois lados, por que 7? Porque é o maior primo que divide 21 e 13=-1mod7
[tex3]A=6 \rightarrow 78 + 21B =1[/tex3]

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[tex3]A=6 \rightarrow 78 + 21B =1[/tex3]

não serve
[tex3]A=13 \rightarrow 21B = -168 \rightarrow 7B = -56 \rightarrow B=-8[/tex3]

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[tex3]A=13 \rightarrow 21B = -168 \rightarrow 7B = -56 \rightarrow B=-8[/tex3]

como
[tex3]13 \cdot 13 + 21 \cdot (-8) = 1[/tex3]

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[tex3]13 \cdot 13 + 21 \cdot (-8) = 1[/tex3]

temos que:
[tex3]13 \cdot (13 +21k) + 21 \cdot (-8 -13k) = 1[/tex3]

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[tex3]13 \cdot (13 +21k) + 21 \cdot (-8 -13k) = 1[/tex3]

para todo [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

inteiro.
multiplicando os dois lados por 261
[tex3]13 \cdot (261(13+21k)) + 21 \cdot(-261(8+13k)) = 261[/tex3]

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[tex3]13 \cdot (261(13+21k)) + 21 \cdot(-261(8+13k)) = 261[/tex3]

e essa é a solução geral. [tex3]x = 261(13+21k), y=-261(8+13k)[/tex3]

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[tex3]x = 261(13+21k), y=-261(8+13k)[/tex3]

para todo k inteiro.

[Hanon]

Muito boa a explicação. Grato sousóeu!