[tex3]\frac{3n^2+n}{2}[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (FEI-MAUÁ) Progressões
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- FelipeMP
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Jul 2017
03
17:21
(FEI-MAUÁ) Progressões
(FEI-MAUÁ) Achar a soma dos "n" primeiros inteiros positivos consecutivos, maiores que o número n.
[tex3]\frac{3n^2+n}{2}[/tex3]
Grato desde já.
Resposta
[tex3]\frac{3n^2+n}{2}[/tex3]
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Rumo à FMRP-USP
- csmarcelo
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Jul 2017
03
17:50
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
A soma dos termos de uma PA situados no intervalo [tex3][a_p,a_q][/tex3]
[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}[/tex3]
No seu caso,
[tex3]a_p=p=n+1[/tex3]
[tex3]a_q=q=(n+1)+(n-1)=2n[/tex3]
Substituindo
[tex3]\frac{[2n-(n+1)+1][(n+1)+2n]}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}=\frac{3n^2+n}{2}[/tex3]
é dada por:[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}[/tex3]
No seu caso,
[tex3]a_p=p=n+1[/tex3]
[tex3]a_q=q=(n+1)+(n-1)=2n[/tex3]
Substituindo
[tex3]\frac{[2n-(n+1)+1][(n+1)+2n]}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}=\frac{3n^2+n}{2}[/tex3]
Editado pela última vez por csmarcelo em 03 Jul 2017, 17:50, em um total de 3 vezes.
- FelipeMP
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Jul 2017
03
18:41
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
csmarcelo, obrigado.
Como deduzo essa fórmula?
[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}[/tex3]
Como deduzo essa fórmula?
[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}[/tex3]
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Jul 2017
03
19:50
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
A soma dos termos de uma PA é dada por: [tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3]
O número de termos de p até q (contando com p e q) é simplesmente q-p+1. Exemplo: seja n o número de termos em [tex3](a_1;a_2;a_2;a_4;a_5)[/tex3] . Contando ''no dedo'' concluímos que existem 5 termos, mas utilizando ''q-p+1'', temos 5-1+1=5 termos. No caso o ''n'' da fórmula será q-p+1.
.O número de termos de p até q (contando com p e q) é simplesmente q-p+1. Exemplo: seja n o número de termos em [tex3](a_1;a_2;a_2;a_4;a_5)[/tex3] . Contando ''no dedo'' concluímos que existem 5 termos, mas utilizando ''q-p+1'', temos 5-1+1=5 termos. No caso o ''n'' da fórmula será q-p+1.
Editado pela última vez por Killin em 03 Jul 2017, 19:50, em um total de 1 vez.
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Jul 2017
03
22:40
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
Não consegui entender essa passagem. Se alguém puder ajudar, ficarei grato.
Editado pela última vez por FelipeMP em 03 Jul 2017, 22:40, em um total de 1 vez.
Rumo à FMRP-USP
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Jul 2017
04
11:26
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
A expressão apresentada pelo Killin é um caso específico da que eu mostrei.
Reparem que [tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3] quando [tex3]p=1[/tex3] e [tex3]q=n[/tex3] , ou seja, quando queremos contar do primeiro até o [tex3]n[/tex3] -ésimo termo.
[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}\rightarrow[/tex3] soma dos termos da PA no intervalo [tex3][a_p,a_q][/tex3]
[tex3]\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\rightarrow[/tex3] soma dos termos da PA no intervalo [tex3][a_1,a_n][/tex3] , ou seja, soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos.
Com relação à sua segunda dúvida, o [tex3]n+1[/tex3] -ésimo termo faz parte dos termos a serem somados, por isso temos que subtrair 1. Se definíssemos [tex3]q=p+n[/tex3] , somaríamos [tex3]n+1[/tex3] termos.
Façamos [tex3]n=3[/tex3] .
[tex3]p=3+1=4[/tex3]
[tex3]q=p+3=4+3=7[/tex3]
Repare que de [tex3]a_4[/tex3] a [tex3]a_7[/tex3] temos 4 termos, mas devemos somar apenas 3.
Reparem que [tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3] quando [tex3]p=1[/tex3] e [tex3]q=n[/tex3] , ou seja, quando queremos contar do primeiro até o [tex3]n[/tex3] -ésimo termo.
[tex3]\frac{(q-p+1)(a_p+a_q)}{2}\rightarrow[/tex3] soma dos termos da PA no intervalo [tex3][a_p,a_q][/tex3]
[tex3]\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}\rightarrow[/tex3] soma dos termos da PA no intervalo [tex3][a_1,a_n][/tex3] , ou seja, soma dos [tex3]n[/tex3] primeiros termos.
Com relação à sua segunda dúvida, o [tex3]n+1[/tex3] -ésimo termo faz parte dos termos a serem somados, por isso temos que subtrair 1. Se definíssemos [tex3]q=p+n[/tex3] , somaríamos [tex3]n+1[/tex3] termos.
Façamos [tex3]n=3[/tex3] .
[tex3]p=3+1=4[/tex3]
[tex3]q=p+3=4+3=7[/tex3]
Repare que de [tex3]a_4[/tex3] a [tex3]a_7[/tex3] temos 4 termos, mas devemos somar apenas 3.
Editado pela última vez por csmarcelo em 04 Jul 2017, 11:26, em um total de 1 vez.
- FelipeMP
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Jul 2017
07
16:26
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
csmarcelo, muito obrigado, consegui entender!
Rumo à FMRP-USP
- Killin
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Jul 2017
07
18:36
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
Eu sinceramente não entendi essa questão (o que o enunciado pede), se alguém puder resolvê-la de alguma outra forma irei agradecer. Fiquei intrigado nela.
Editado pela última vez por Killin em 07 Jul 2017, 18:39, em um total de 1 vez.
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Jul 2017
07
19:26
Re: (FEI-MAUÁ) Progressões
Conte até n. Agora conte mais n numeros. A questao pede a soma dessa segunda contagem, ex:
Contamos até 2: 1,2
Contamos mais 2: 3,4
A soma pedida é 3+4
Contamos até 2: 1,2
Contamos mais 2: 3,4
A soma pedida é 3+4
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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