Sejam [tex3]y_{i}(x)=a_{i2}x^2+a_{i1}x+a_{i0}[/tex3]
, com [tex3]i\in \{1;2;3;\cdots;20\}[/tex3]
, polinômios para os quais se verificam que [tex3]y_{i+1}(x)-y_{i}(x)=r[/tex3]
para todo par ordenado [tex3](x,r) \in \{ (1;6), (2;8), (3,10)\}[/tex3]
. Sabendo que [tex3]y_{15}(1)=83[/tex3]
, [tex3]y_{10}(2)=77[/tex3]
e que [tex3]y_{8}(3)=85[/tex3]
, determine o valor numérico da expressão:
[tex3]\frac{\sum_{i=1}^{20}(a_{i1}+a_{i0})}{\sum_{i=1}^{20}a_{i2}}[/tex3]
.
Resposta: 27
Ensino Médio ⇒ Soma de Coeficientes Polinomiais (Álgebra) Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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marcviana
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Jul 2017
04
09:57
Re: Soma de Coeficientes Polinomiais (Álgebra)
Sofrendo nessa também... alguém para ajudar?
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undefinied3
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Jul 2017
04
10:22
Re: Soma de Coeficientes Polinomiais (Álgebra)
Esses [tex3]a_{i1}, \ a_{i2}, \ a_{i3}[/tex3]
eram para ser [tex3]a_{i_1}[/tex3]
por exemplo? Digo, o número depois do i era para ser o índice no i ou não? Porque se não fica estranho, se i=20, teríamos [tex3]a_{201}[/tex3]
, o que não me parece fazer muito sentido.
Editado pela última vez por undefinied3 em 04 Jul 2017, 10:22, em um total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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marcviana
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Jul 2017
04
11:25
Re: Soma de Coeficientes Polinomiais (Álgebra)
São 20 polinomios o "i" é só o índice de "navegação" entre eles. Quanto ao número que vem depois é para indicar o coeficiente do termo que contém a potencia de x de mesmo número. Assim [tex3]a_{20,1}[/tex3]
o coeficiente de [tex3]x^{1}[/tex3]
do vigésimo polinomio. Agora o problema é encontrar um caminho para a solução.
Editado pela última vez por marcviana em 04 Jul 2017, 11:25, em um total de 1 vez.
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undefinied3
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Jul 2017
04
12:02
Re: Soma de Coeficientes Polinomiais (Álgebra)
Ah entendi. Nesse caso:
[tex3]y_8(3)-y_7(3)=10 \rightarrow y_7(3)=75[/tex3]
Aplicando a relação recursivamente, encontraremos
[tex3]y_i(3)=10i+5[/tex3]
[tex3]y_{10}(2)-y_{9}(2)=8 \rightarrow y_9(2)=69[/tex3]
Aplicando recursivamente, [tex3]y_i(2)=8i-3[/tex3]
[tex3]y_{15}(1)-y_{14}(1)=6 \rightarrow y_{14}(1)=77[/tex3]
Aplicando recursivamente, [tex3]y_i(1)=6i-7[/tex3]
Assim podemos definir todos os polinômios, pois temos 3 equações para 3 incognitas em cada um.
[tex3]\begin{cases}
y_i(1)=6i-7 \rightarrow a_{i,2}+a_{i,1}+a_{i,0}=6i-7 \\
y_i(2)=8i-3 \rightarrow 4a_{i,2}+2a_{i,1}+a_{i,0}=8i-3\\
y_i(3)=10i+5 \rightarrow 9a_{i,2}+3a_{i,1}+a_{i,0}=10i+5
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo, encontramos [tex3]a_{i,2}=2[/tex3] , [tex3]a_{i,1}=2i-2[/tex3] e [tex3]a_{i,0}=4i-7[/tex3] .
Queremos então:
[tex3]S=\frac{(6.1-9)+(6.2-9)+...+(6.20-9)}{20*2}=\frac{6(1+2+...+20)-180}{40}=\frac{6.210-180}{40}=27[/tex3]
[tex3]y_8(3)-y_7(3)=10 \rightarrow y_7(3)=75[/tex3]
Aplicando a relação recursivamente, encontraremos
[tex3]y_i(3)=10i+5[/tex3]
[tex3]y_{10}(2)-y_{9}(2)=8 \rightarrow y_9(2)=69[/tex3]
Aplicando recursivamente, [tex3]y_i(2)=8i-3[/tex3]
[tex3]y_{15}(1)-y_{14}(1)=6 \rightarrow y_{14}(1)=77[/tex3]
Aplicando recursivamente, [tex3]y_i(1)=6i-7[/tex3]
Assim podemos definir todos os polinômios, pois temos 3 equações para 3 incognitas em cada um.
[tex3]\begin{cases}
y_i(1)=6i-7 \rightarrow a_{i,2}+a_{i,1}+a_{i,0}=6i-7 \\
y_i(2)=8i-3 \rightarrow 4a_{i,2}+2a_{i,1}+a_{i,0}=8i-3\\
y_i(3)=10i+5 \rightarrow 9a_{i,2}+3a_{i,1}+a_{i,0}=10i+5
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo, encontramos [tex3]a_{i,2}=2[/tex3] , [tex3]a_{i,1}=2i-2[/tex3] e [tex3]a_{i,0}=4i-7[/tex3] .
Queremos então:
[tex3]S=\frac{(6.1-9)+(6.2-9)+...+(6.20-9)}{20*2}=\frac{6(1+2+...+20)-180}{40}=\frac{6.210-180}{40}=27[/tex3]
Editado pela última vez por undefinied3 em 04 Jul 2017, 12:02, em um total de 2 vezes.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
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