Ensino Médio ⇒ Mínimo função

[Auto Excluído (ID:18124)]

[tex3]f(x)=\sqrt{x²-2x+10}+\sqrt{x²-10x+26}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x)=\sqrt{x²-2x+10}+\sqrt{x²-10x+26}[/tex3]

Ache o mínimo da função.

Resposta

---

4

[csmarcelo]

Temos dois polinômios do segundo grau, cujos mínimos são calculados através da seguinte fórmula:

[tex3]-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]

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[tex3]-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]

[tex3]x^2-2x+10\rightarrow-\frac{\Delta}{4a}=9[/tex3]

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[tex3]x^2-2x+10\rightarrow-\frac{\Delta}{4a}=9[/tex3]

[tex3]x^2-10x+26\rightarrow-\frac{\Delta}{4a}=1[/tex3]

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[tex3]x^2-10x+26\rightarrow-\frac{\Delta}{4a}=1[/tex3]

Logo, o mínimo de [tex3]f(x)[/tex3]

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[tex3]f(x)[/tex3]

é [tex3]\sqrt{9}+\sqrt{1}=4[/tex3]

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[tex3]\sqrt{9}+\sqrt{1}=4[/tex3]

.

[undefinied3]

Acho que foi sorte a resposta ter batido; o mínimo individual nao é o mínimo da funcao porque eles nao ocorrem simultaneamente. Quando o primeiro vale 9, o segundo nao pode valer 1. Só volto pra casa as 9 hoje e posso tentar mais tarde, mas talvez tenha uma saída geométrica pra não precisar de derivadas.

[undefinied3]

O gabarito tá errado, é 4 raiz de 2, o mínimo ocorre quando x=4, fiz por geometria e confirmei o resultado no wolfram.
A situação de mínimo ocorre quando a reta que passa por (1,3) e (x,0) é perpendicular à que passa por (5,1) e (x,0), chegando em casa eu provo isso, ou se alguém quiser tentar mostrar, não é muito difícil.

[314159265]

Não esqueça de mostrar a solução por geometria. Estou curioso.

[Auto Excluído (ID:18124)]

Eu tirei esta equação no desenvolver desta questão:

(EMPO - PR) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(1,3) e B(5,1). O ponto C pertencente ao eixo das abscissas para que AC + CB seja mínimo, é tal que sua abscissa é:

a) 3
*b) 4
c) 5
d) 4,5
e) 3,8

[undefinied3]

Veja que o gabarito que você forneceu, que é da questão original, não é o que você pediu na questão do tópico: o mínimo da função. A questão está interessada no x para que a função seja mínima.

Resolver aquela equação que você colocou inicialmente é o caminho que irá justamente te impedir de resolver o problema original, considerando que é para resolvê-lo com conhecimento de ensino médio. Precisamos pensar num jeito melhor de fazer, e esse jeito é a saída geométrica, ou seja, eu vou acabar voltando no enunciado original do problema e esquecer aquela função que você obteve pelas fórmulas da geometria analítica:

Considere a reflexão de B em torno do eixo das abscissas, isto é, o ponto B'. A função pedida será mínima/AC+CB será mínimo quando o ponto (x,0) estiver na reta que une AB'. Para encontrarmos x, basta igualarmos a zero o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos pontos A, B e (x,0), ou encontrar a reta que contém AB e igualar y=0 para acharmos onde corta o eixo x. Farei do segundo modo porque é mais elementar e usa ideias mais simples:
[tex3]m=\frac{3-(-1)}{1-5}=-1[/tex3]

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[tex3]m=\frac{3-(-1)}{1-5}=-1[/tex3]

Tomando o ponto A:
[tex3]y-y_0=-1(x-x_0) \rightarrow y-3=-1(x-1) \rightarrow y=4-x[/tex3]

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[tex3]y-y_0=-1(x-x_0) \rightarrow y-3=-1(x-1) \rightarrow y=4-x[/tex3]

Quando [tex3]y=0[/tex3]

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[tex3]y=0[/tex3]

, temos [tex3]x=4[/tex3]

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[tex3]x=4[/tex3]

Assim o mínimo ocorre para x=4.

MAS VEJA, o MÍNIMO DA FUNÇÃO é [tex3]f(4)=4\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]f(4)=4\sqrt{2}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:18124)]

Undefinied, como você deduziu que o ponto simétrico de B em relação a x quando formado uma reta com A conteria o ponto exato de que AC+CB fica mínimo?

E esquecendo a última questão que eu coloquei, como faria para achar o mínimo daquela função e formar seu gráfico?

[undefinied3]

Porque DB=DB' por ser reflexão, ou seja, a distância pedida equivale à AD+DB', e ela será mínima se D estiver alinhado com A e B'.

O mínimo daquela função só se acha tendo a ideia de converter aquela função nesse exercício análogo, ou derivado e igualando a zero.

[314159265]

Boa sacada essa da reflexão. Obrigado.