Ensino Fundamental ⇒ (Livro Edgard de Alencar Filho) Geometria Tópico resolvido
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Jun 2017
24
18:18
(Livro Edgard de Alencar Filho) Geometria
As bases de um trapézio isósceles medem 6 cm e 8 cm, e altura, 7 cm. Calcular o raio do círculo circunscrito a este trapézio.
Editado pela última vez por ALDRIN em 26 Jun 2017, 10:07, em um total de 1 vez.
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Jun 2017
26
08:57
Re: (Livro Edgard de Alencar Filho) Geometria
Segue o desenho do problema:
Note que o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3] é o mesmo raio do circuncírculo do trapézio, pois não existe mais de um ponto onde a distância dele aos vértices deste triângulo sejam iguais. Assim, basta calcularmos o raio do circuncírculo do triângulo.
Primeiro vamos descobrir todos os lados deste triângulo:
Usando o teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BFD[/tex3] :
[tex3]\overline{BD}^2=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2[/tex3]
[tex3]\overline{BD}^2=50\Rightarrow\overline{BD}=5\sqrt{2}cm[/tex3]
Note que o [tex3]\triangle BEF[/tex3] é a metade de um quadrado, pois seus catetos são iguais. Segue então que sua hipotenusa será [tex3]cateto\sqrt{2}[/tex3] , logo [tex3]\overline{BE}=7\sqrt{2}cm[/tex3]
Sendo [tex3]R[/tex3] o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3] , temos como calcular a área do triângulo de duas formas:
[tex3]\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BF}}{2}=\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BE}}{4R}[/tex3]
[tex3]\frac{8\cdot7}{2}=\frac{8\cdot5\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}}{4R}[/tex3]
[tex3]R=5cm[/tex3]
Logo o raio do circuncírculo do trapézio tambem vale 5cm.
Note que o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3] é o mesmo raio do circuncírculo do trapézio, pois não existe mais de um ponto onde a distância dele aos vértices deste triângulo sejam iguais. Assim, basta calcularmos o raio do circuncírculo do triângulo.
Primeiro vamos descobrir todos os lados deste triângulo:
Usando o teorema de Pitágoras no [tex3]\triangle BFD[/tex3] :
[tex3]\overline{BD}^2=\overline{BF}^2+\overline{DF}^2[/tex3]
[tex3]\overline{BD}^2=50\Rightarrow\overline{BD}=5\sqrt{2}cm[/tex3]
Note que o [tex3]\triangle BEF[/tex3] é a metade de um quadrado, pois seus catetos são iguais. Segue então que sua hipotenusa será [tex3]cateto\sqrt{2}[/tex3] , logo [tex3]\overline{BE}=7\sqrt{2}cm[/tex3]
Sendo [tex3]R[/tex3] o raio do circuncírculo do [tex3]\triangle BED[/tex3] , temos como calcular a área do triângulo de duas formas:
[tex3]\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BF}}{2}=\frac{\overline{ED}\cdot\overline{BD}\cdot\overline{BE}}{4R}[/tex3]
[tex3]\frac{8\cdot7}{2}=\frac{8\cdot5\sqrt{2}\cdot7\sqrt{2}}{4R}[/tex3]
[tex3]R=5cm[/tex3]
Logo o raio do circuncírculo do trapézio tambem vale 5cm.
Editado pela última vez por Lonel em 26 Jun 2017, 08:57, em um total de 2 vezes.
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