Ensino Superior ⇒ Calculo - Derivadas

[sonhador001]

Estou com algumas dúvidas em um simulado que o professor passou pois está difícil de compreender.
Se alguém puder ajudar, agradeço.

1) f (x) = g (x² + 3) , a aplicação g possui derivada de segunda ordem

2) Seja função f uma função real definida por f (x- e)= g(x + ln x). Se g' (e + 1) = e . Determine f' (0)

3) Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da aplicação f definida por f (x) = g (1 - ln x) no ponto x= e , sendo g (0) = g' (0) = e

[LucasPinafi]

1)
[tex3]f(x) = g(x^2 + 3) \therefore f' (x) = 2xg'(x^2+3) \therefore f'' (x) = 2g'(x^2 + 3) +(2x)(2x) g''(x^2 + 3) \\ f''(x) = 2g'(x^2+3) + 4x^2 g''(x^2+3) \\ f'''(x)
=2xg''(x^2+3) +8xg''(x^2+3) +(4x^2)(2x) g'''(x^2+3) \therefore f'''(x) = 10xg''(x^2+3) + 8x^3 g''''(x^2+3)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x) = g(x^2 + 3) \therefore f' (x) = 2xg'(x^2+3) \therefore f'' (x) = 2g'(x^2 + 3) +(2x)(2x) g''(x^2 + 3) \\ f''(x) = 2g'(x^2+3) + 4x^2 g''(x^2+3) \\ f'''(x)
=2xg''(x^2+3) +8xg''(x^2+3) +(4x^2)(2x) g'''(x^2+3) \therefore f'''(x) = 10xg''(x^2+3) + 8x^3 g''''(x^2+3)[/tex3]

2)
[tex3]f(x-e) = g(x + \ln x ) \therefore f'(x-e) = (x+\ln x)' g'(x+\ln x) =\left(1+ \frac 1 x \right) g'(x+ \ln x) \\f'(e-e) = f'(0) = \left(1+ \frac 1 e \right) g'(e+1)=
\left(1+ \frac 1 e \right) e=e +1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x-e) = g(x + \ln x ) \therefore f'(x-e) = (x+\ln x)' g'(x+\ln x) =\left(1+ \frac 1 x \right) g'(x+ \ln x) \\f'(e-e) = f'(0) = \left(1+ \frac 1 e \right) g'(e+1)=
\left(1+ \frac 1 e \right) e=e +1[/tex3]

3)
[tex3]f'(x) = (1- \ln x)' g'(1-\ln x) = - \frac 1 x g'(1-\ln x) \\ y-f(x_0) = f'(x_0) (x-x_0 ) \therefore y-f(e) = f'(e) (x-x_e) \begin{cases} f(e) = g(1- \ln e) = g(0) = e \\ f'(e) =- \frac 1 e g'(0) = -1 \end{cases} \\ y - e = -1(x-e) \therefore y = -x+2e[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x) = (1- \ln x)' g'(1-\ln x) = - \frac 1 x g'(1-\ln x) \\ y-f(x_0) = f'(x_0) (x-x_0 ) \therefore y-f(e) = f'(e) (x-x_e) \begin{cases} f(e) = g(1- \ln e) = g(0) = e \\ f'(e) =- \frac 1 e g'(0) = -1 \end{cases} \\ y - e = -1(x-e) \therefore y = -x+2e[/tex3]