(A) [tex3]\frac{155}{8}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{335}{11}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{275}{9}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{205}{8}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{95}{8}[/tex3]
Resposta:
A
IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2017) Geometria Espacial Tópico resolvido
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ALDRIN
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Mai 2017
26
10:36
(Escola Naval - 2017) Geometria Espacial
Uma pirâmide triangular tem como base um triângulo de lados [tex3]13\ cm[/tex3]
, [tex3]14\ cm[/tex3]
e [tex3]15\ cm[/tex3]
; as outras arestas medem [tex3]\ell[/tex3]
. Sabendo que o volume da pirâmide é de [tex3]105\sqrt{22}\ cm^3[/tex3]
, o valor de [tex3]\ell[/tex3]
, em [tex3]cm[/tex3]
, é igual a:
(A) [tex3]\frac{155}{8}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{335}{11}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{275}{9}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{205}{8}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{95}{8}[/tex3]
A
(A) [tex3]\frac{155}{8}[/tex3]
(B) [tex3]\frac{335}{11}[/tex3]
(C) [tex3]\frac{275}{9}[/tex3]
(D) [tex3]\frac{205}{8}[/tex3]
(E) [tex3]\frac{95}{8}[/tex3]
A
Editado pela última vez por ALDRIN em 26 Mai 2017, 10:36, em um total de 2 vezes.
"O ângulo inscrito no semicírculo é reto."
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
Ao descobrir essa verdade Tales fez sacrifício aos deuses.
Hoefer, H., 80.
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LucasPinafi
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Mai 2017
28
01:04
Re: (Escola Naval - 2017) Geometria Espacial
onde tu achou a prova e o gabarito?
Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia
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Marcos
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Mai 2017
28
10:41
Re: (Escola Naval - 2017) Geometria Espacial
Editado pela última vez por Marcos em 28 Mai 2017, 10:41, em um total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
-
Marcos
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Mai 2017
28
11:56
Re: (Escola Naval - 2017) Geometria Espacial
Olá ALDRIN.Observe a solução:
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Aplicando o Teorema de Heron, teremos:
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}[/tex3]
[tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{13+14+15}{2}=21 \ cm[/tex3] .
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(21-13).(21-14).(21-15)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(8).(7).(6)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{3.7.(2^3).(7).(2.3)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{(2^4).(7^2).(3^2)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=2^2.7.3[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{\triangle}=84 \ cm^2}[/tex3] .
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Como as [tex3]3[/tex3] arestas são iguais, as projeções delas no plano do triângulo também são iguais.Assim, o vértice da pirâmide projetado no triângulo corresponde a um ponto do triângulo que equidista dos três vértices desse triângulo. Este ponto é o circuncentro, e a distância a cada ponto vale [tex3]r[/tex3] , o raio da circunferência circunscrita.Aplicando [tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}[/tex3] , teremos:
[tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}=84[/tex3]
[tex3]\frac{13.14.15}{4.r}=84[/tex3]
[tex3]r=\frac{13.14.15}{4.84}[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{65}{8} \ cm}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Observe agora que, o raio [tex3]r[/tex3] , a altura [tex3]h[/tex3] da pirâmide e a aresta [tex3]\ell[/tex3] formam um triangulo retângulo, em que a aresta [tex3]\ell[/tex3] é hipotenusa.Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:
[tex3]r^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Sabendo que o volume da pirâmide é de [tex3]105\sqrt{22}\ cm^3[/tex3] , teremos:
[tex3]V=\frac{1}{3}.S_{\triangle}.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=\frac{1}{3}.84.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=28.h[/tex3]
[tex3]h=\frac{105\sqrt{22}}{28}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{15\sqrt{22}}{4} \ cm}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Substituindo [tex3]h[/tex3] em [tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3] , teremos:
[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+\left(\frac{15\sqrt{22}}{4}\right)^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\frac{65^2}{8^2}+\frac{15^2.22}{4^2}=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\ell=\frac{155}{8} \ cm}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]
Resposta: [tex3]A[/tex3] .
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Aplicando o Teorema de Heron, teremos:
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{p.(p-a).(p-b).(p-c)}[/tex3]
[tex3]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex3]
[tex3]p=\frac{13+14+15}{2}=21 \ cm[/tex3] .
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(21-13).(21-14).(21-15)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{21.(8).(7).(6)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{3.7.(2^3).(7).(2.3)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=\sqrt{(2^4).(7^2).(3^2)}[/tex3]
[tex3]S_{\triangle}=2^2.7.3[/tex3]
[tex3]\boxed{S_{\triangle}=84 \ cm^2}[/tex3] .
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Como as [tex3]3[/tex3] arestas são iguais, as projeções delas no plano do triângulo também são iguais.Assim, o vértice da pirâmide projetado no triângulo corresponde a um ponto do triângulo que equidista dos três vértices desse triângulo. Este ponto é o circuncentro, e a distância a cada ponto vale [tex3]r[/tex3] , o raio da circunferência circunscrita.Aplicando [tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}[/tex3] , teremos:
[tex3]S_{\triangle}=\frac{a.b.c}{4r}=84[/tex3]
[tex3]\frac{13.14.15}{4.r}=84[/tex3]
[tex3]r=\frac{13.14.15}{4.84}[/tex3]
[tex3]\boxed{r=\frac{65}{8} \ cm}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Observe agora que, o raio [tex3]r[/tex3] , a altura [tex3]h[/tex3] da pirâmide e a aresta [tex3]\ell[/tex3] formam um triangulo retângulo, em que a aresta [tex3]\ell[/tex3] é hipotenusa.Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos:
[tex3]r^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Sabendo que o volume da pirâmide é de [tex3]105\sqrt{22}\ cm^3[/tex3] , teremos:
[tex3]V=\frac{1}{3}.S_{\triangle}.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=\frac{1}{3}.84.h[/tex3]
[tex3]105\sqrt{22}=28.h[/tex3]
[tex3]h=\frac{105\sqrt{22}}{28}[/tex3]
[tex3]\boxed{h=\frac{15\sqrt{22}}{4} \ cm}[/tex3]
[tex3]\hookrightarrow[/tex3] Substituindo [tex3]h[/tex3] em [tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3] , teremos:
[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+h^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\left(\frac{65}{8}\right)^2+\left(\frac{15\sqrt{22}}{4}\right)^2=\ell^2[/tex3]
[tex3]\frac{65^2}{8^2}+\frac{15^2.22}{4^2}=\ell^2[/tex3]
[tex3]\boxed{\boxed{\ell=\frac{155}{8} \ cm}}\Longrightarrow Letra:(A)[/tex3]
Resposta: [tex3]A[/tex3] .
Editado pela última vez por Marcos em 28 Mai 2017, 11:56, em um total de 1 vez.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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