Olá
Flavio2020,
A figura apresentada está um pouco distorcida propositadamente para o aluno não tirar conclusões sobre as proporções geométricas (normal em provas). Veja a imagem abaixo como seria o desenho perfeitamente em escala (feito no geogebra), e com os nomes dos pontos para auxiliar na resolução:
Começamos vendo que o raio máximo do círculo vermelho acontecerá quando a circunferência vermelha estiver exatamente no meio de [tex3]B[/tex3]
e [tex3]F[/tex3]
.
Como [tex3]BF[/tex3]
é uma corda tanto da circunferência azul quanto da circunferência verde, podemos concluir que a mediatriz de [tex3]BF[/tex3]
passará, obrigatoriamente, nos centros [tex3]O[/tex3]
e [tex3]A[/tex3]
das circunferências verde e azul, respectivamente. Portanto, traçamos o segmento [tex3]AO[/tex3]
e ele passará pelo centro [tex3]J[/tex3]
da circunferência vermelha e pelos pontos de tangência [tex3]H[/tex3]
e [tex3]I[/tex3]
.
Agora fica mais fácil encontrarmos o raio da circunferência vermelha.
[tex3]AH[/tex3]
é o raio da azul, que é igual ao lado [tex3]AB[/tex3]
do quadrado ([tex3]AH=AB[/tex3]
). Portanto, [tex3]\boxed{AH=3 +\sqrt{5}}[/tex3]
.
[tex3]AO[/tex3]
pode ser encontrado por pitágoras no triângulo [tex3]ABO[/tex3]
, onde [tex3]BO=AB/2[/tex3]
. Portanto, [tex3]\boxed{AO=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot(3+\sqrt{5})}[/tex3]
[tex3]OH[/tex3]
vale [tex3]AO-AH[/tex3]
. Portanto, [tex3]OH=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot(3+\sqrt{5})-(3+\sqrt{5})\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{OH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex3]
[tex3]IH[/tex3]
vale o raio da circunferência verde menos [tex3]OH[/tex3]
, ou seja, [tex3]IH=IO-OH\,\,\,\rightarrow\,\,\,\frac{3 +\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}-1}{2}\,\,\,\rightarrow\,\,\,\boxed{IH=2}[/tex3]
[tex3]IH[/tex3]
é o diâmetro da circunferência vermelha. Como é pedido o raio, a resposta é a
letra C.
Grande abraço,
Prof. Caju