Ensino MédioSomatório Tópico resolvido

Problemas sobre assuntos estudados no Ensino Médio devem ser postados aqui. Se o problema for de Vestibular, poste-o no fórum Pré-Vestibular

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Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

Determine a forma fechada (soma) da seguinte expressão:

[tex3]S=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{2k+1}[/tex3]
Resposta

[tex3]\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}[/tex3]

Última edição: Andre13000 (Sáb 20 Mai, 2017 19:43). Total de 2 vezes.


“Study hard what interests you the most in the most undisciplined, irreverent and original manner possible.” -Richard Feynman

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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

up



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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Somatório

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

esse é um problema de combinatória(eu sou horrível em combinatória) no qual você tem que ter afinidade com o fatorial duplo.

Tentei fazer por soma por partes https://en.wikipedia.org/wiki/Summation_by_parts mas dai teria que trabalhar ou com a função digama ou ter mais criatividade do que eu tive. Outro jeito que eu tentei fazer foi com a soma de abel que transformaria essa soma numa integral https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%27s_ ... on_formula. Deu ruim pois tomei [tex3]A(n) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^k =\delta_{n,0}[/tex3] onde [tex3]\delta_{n,0}[/tex3] é o delta de kronecker, dai a integral ficou esquisita.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 21 Mai, 2017 19:43). Total de 1 vez.



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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

Interessante esses artigos da wikipédia aí, pena que não entendo nada kkkkkk. Que seriam esses deltas? Já vi também o tal do delta de dirac, mas nunca parei para estudá-lo.


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Re: Somatório

Mensagem não lida por LucasPinafi »

tendi foi é nada kkkkkk


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

Já consegui ter muito avanço no problema mas ainda to com uma pedra no sapato :x. Amanhã vejo se termino de resolver.


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Auto Excluído (ID:12031)
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Re: Somatório

Mensagem não lida por Auto Excluído (ID:12031) »

kkkkkkkkkkk deixa pra lá. O delta de kronecker é simples é uma função que vale zero quando [tex3]x\neq 0[/tex3] e 1 quando [tex3]x=0[/tex3] . É uma função verdadeira diferente do delta de dirac. Mas a fórmula da soma de abel partiria de [tex3]n=-1[/tex3] dai daria problema essa soma eu acho. Você pode pensar em fazer [tex3]S(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^kx^{(2k+1)}}{2k+1}[/tex3]
dai
[tex3]S'(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^kx^{(2k)}[/tex3]
ou
[tex3]S(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^ke^{(2k+1)x}}{2k+1}[/tex3]
lol sem ideia
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Dom 21 Mai, 2017 23:16). Total de 2 vezes.



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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

É isso daí mesmo!

[tex3]S'(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^kx^{(2k)}[/tex3]

Se você tivesse desenvolvido a ideia teria chegado na resposta. Ontem eu estava terminando de generalizar a minha resposta. Tentei conseguir uma série infinita que vale para qualquer valor de N, mas converge MUITO devagar, e é alternada. Para você ter ideia, nem o wolfram alpha tem certeza se é divergente ou convergente só pelo gráfico. O gráfico que as somas parciais descrevem parece que está em ressonância, vão de um lado para outro cada vez mais longe (mas converge, você vai ver por quê). Tentei arrumar mas acho que nem o método de Euler salva kkkkkkkkkk
Última edição: Andre13000 (Seg 22 Mai, 2017 13:55). Total de 1 vez.


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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

[tex3]S=\sum_{k=0}^n {n\choose k}\frac{(-1)^k}{2k+1}\\
S={n\choose 0}-\frac{1}{3}{n\choose 1}+\frac{1}{5}{n\choose 2}-\frac{1}{7}{n\choose 3}+~...~\frac{(-1)^k}{2n+1}{n\choose n}\\[/tex3]

Define-se o polinômio [tex3]P(x)[/tex3] tal que:

[tex3]P(x)=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(-1)^kx^{2k+1}[/tex3] e [tex3]P(1)-P(0)=S[/tex3]

[tex3]P(x)={n\choose 0}x-{n\choose 1}\frac{x^3}{3}+{n\choose 2}\frac{x^5}{5}-~...+(-1)^n{n \choose n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}[/tex3]

Mas veja que:

[tex3]P'(x)={n\choose 0}-{n\choose 1}x^2+{n\choose 2}x^4-~...+(-1)^n{n \choose n}x^{2n}[/tex3]

Que é justamente

[tex3]P'(x)=\sum_{k=0}^n {n\choose k}(-1)^k x^{2k}=(1-x^2)^n[/tex3]

Portanto:

[tex3]S=P(1)-P(0)=\int_0^1 P'(x)=\int_0^{1} (1-x^2)^n~dx[/tex3]

Fazendo a substituição [tex3]x=\sen\theta[/tex3] temos que:

[tex3]S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~ d\theta[/tex3]

Assim a integral parece desafiadora, mas com integração por partes:

[tex3]u=\cos^{2n}\theta\\
du=-2n\cos^{2n-1}\theta\sen\theta~d\theta\\
dv=\cos\theta~d\theta\\
v=\sen\theta\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta={\Big[}\cos^{2n}\theta\sen\theta{\Big]}_0^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta\sen^2\theta~d\theta[/tex3]

Fazendo [tex3]\sen^2\theta=1-\cos^2\theta[/tex3] fica e observando que um dos termos simplifica a zero:

[tex3]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta\cdot(1-\cos^2\theta)~d\theta\\
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n-1}\theta~d\theta-\int_0^{\frac{\pi}{2}}2n\cos^{2n+1}\theta~d\theta[/tex3]

Isolando o nosso termo de interesse:

[tex3]\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n+1}\theta~d\theta=\frac{2n}{2n+1}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n-1}\theta~d\theta[/tex3]

O que dá a relação de recorrência:

[tex3]I_{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}I_{2k-1}[/tex3]

Assim:

[tex3]I_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}\cdot\frac{2n-2}{2n-1}\cdot\frac{2n-4}{2n-3}\cdot~...~\cdot\frac{2}{3}I_1[/tex3]

Mas:

[tex3]I_1=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos\theta~d\theta=\Big[\sen\theta\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1[/tex3]

Finalmente:

[tex3]I_{2n+1}=\prod_{k=1}^{n}\frac{2k}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
S=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}[/tex3]

E como a área debaixo dessa função no intervalo estudado é bem definida para n maior que 0, poderíamos até encontrar valores dessa soma para valores não inteiros de n :). Para essa generalização é muito útil o binômio de Newton:

[tex3]\begin{align}\int_0^1 (1-x^2)^n~dx&=\int_0^1 \sum_{k=0}^{\infty}{n\choose k}(-1)^kx^{2k}~dx\\
&=\int_0^1 1-nx^2+\frac{n(n-1)x^4}{2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^6}{3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)x^8}{4!}-~...~dx
\\&=\Big[x-\frac{nx^3}{3}+\frac{n(n-1)x^5}{5\cdot2!}-\frac{n(n-1)(n-2)x^7}{7\cdot 3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)x^9}{9\cdot 4!}-~...\Big]_0^1\\
&=1-\frac{n}{3}+\frac{n(n-1)}{5\cdot2!}-\frac{n(n-1)(n-2)}{7\cdot 3!}+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{9\cdot 4!}-~...\\
&=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n)_k}{k!}\frac{(-1)^k}{(2k+1)}\end{align}\\[/tex3]

Onde [tex3](n)_k=n(n-1)(n-2)(n-3)~...~(n-k+1)[/tex3] é o fatorial descendente. O problema é que ela é tão ruim, que se você colocar no wolfram alpha, ele nem vai achar que é convergente. :roll: Se alguém conseguir salvar essa série fala aí, to pesquisando alguns métodos aqui.

Outra coisa interessante que achei é que a integral da forma:

[tex3]\int_0^1(1-x^t)^n~dx[/tex3]

É nada menos, nada mais que uma função beta.
Última edição: Andre13000 (Seg 22 Mai, 2017 14:07). Total de 1 vez.


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Re: Somatório

Mensagem não lida por Andre13000 »

[tex3]\int_0^1(1-x^2)^n~dx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
n=-\frac{1}{2}\\
\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\\
(2n)!!=\frac{\Gamma(n+\frac{3}{2})\cdot2^{n+1}}{\sqrt{\pi}}=\frac{\Gamma(1)\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\\
(2n+1)!!=\frac{\Gamma(n+\frac{5}{2})\cdot2^{n+2}}{\sqrt{\pi}}=\frac{\Gamma(2)\cdot2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\\
x=\sen\theta\\
dx=\cos\theta~d\theta\\
\int_0^\frac{\pi}{2}d\theta=\frac{\Gamma(1)\cdot\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{\pi}}}\cdot \frac{\cancel{\sqrt{\pi}}}{\Gamma(2)\cdot2\cancel{\sqrt{2}}}\\
\frac{\pi}{2}=\frac{\Gamma(1)}{2\cdot \Gamma(2)}=\frac{1}{2}\\
\therefore \pi=1[/tex3]

Coincidência? EU ACHO QUE NÃO!

Última edição: Andre13000 (Seg 22 Mai, 2017 14:41). Total de 1 vez.


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