Olimpíadas ⇒ Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra Tópico resolvido
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Mai 2017
08
16:41
Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
Determine quantas soluções reais possui a equação:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3} + (2x^{2} - x - 1)^{3} = 27(x^{2} - 1)^3[/tex3] .
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3} + (2x^{2} - x - 1)^{3} = 27(x^{2} - 1)^3[/tex3] .
Última edição: Auto Excluído (ID:17906) (Seg 08 Mai, 2017 16:41). Total de 1 vez.
Jun 2017
11
19:54
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
CONTEM ERROS GROTESCOS, IGNOREM
Travei nesta questão. Vou mandar o que fiz, depois tento completa-la.
Note que:
[tex3](2x^{2} - x - 1)^{3}=[(x-1)(2x+1)]^3[/tex3] e que [tex3]27(x^{2} - 1)^3=3^3[(x-1)(x+1)]^3[/tex3]
Irei chamar agora:
[tex3]k=x-1[/tex3]
[tex3]m=x+1[/tex3]
[tex3]z=2x+1[/tex3]
Temos então que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3]
Aplicando a fatoração por diferença de quadrados, temos que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m-z)(m^2+mz+z^2)[/tex3]
Se substituir os valores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]z[/tex3] , ficaremos com:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]
Se existir uma forma de escrever [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3] como uma multiplicação de fatores elevados ao cubo, a questão ficaria pronta, pois seria só extrair a raiz cúbica da equação, e resolver a equação de segundo grau restante. Travei aqui.
Resposta
Travei nesta questão. Vou mandar o que fiz, depois tento completa-la.
Note que:
[tex3](2x^{2} - x - 1)^{3}=[(x-1)(2x+1)]^3[/tex3] e que [tex3]27(x^{2} - 1)^3=3^3[(x-1)(x+1)]^3[/tex3]
Irei chamar agora:
[tex3]k=x-1[/tex3]
[tex3]m=x+1[/tex3]
[tex3]z=2x+1[/tex3]
Temos então que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3]
Aplicando a fatoração por diferença de quadrados, temos que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m-z)(m^2+mz+z^2)[/tex3]
Se substituir os valores de [tex3]m[/tex3] e [tex3]z[/tex3] , ficaremos com:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]
Se existir uma forma de escrever [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3] como uma multiplicação de fatores elevados ao cubo, a questão ficaria pronta, pois seria só extrair a raiz cúbica da equação, e resolver a equação de segundo grau restante. Travei aqui.
Última edição: Lonel (Dom 11 Jun, 2017 19:54). Total de 6 vezes.
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Jun 2017
11
20:23
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
Acho que a saída é por Bolzano.
[tex3]f(x)=(x^2+x-1)^3+(2x^2-x-1)^3-27(x^2-1)^3[/tex3]
[tex3]f(0)=-1-1+27=25[/tex3]
[tex3]f(1)=1[/tex3]
[tex3]f(2)=5^3+5^3-27.27=-479[/tex3]
Então encontramos uma raiz.
[tex3]f(3)=-9749[/tex3]
[tex3]f(4)=-64583[/tex3]
É, pode ter certeza que esse negócio não volta mais a passar pelo eixo x.
[tex3]f(-1)=7[/tex3]
[tex3]f(-2)=1[/tex3]
[tex3]f(-3)=-5699[/tex3]
Outra raiz.
[tex3]f(-4)=-46919[/tex3]
Também não volta a cruzar o eixo x não.
Então acaba tendo duas raízes. Coloquei no Wolfram e ele só dá resultado numérico, creio que seja bem claro que o objetivo não é calcular as raízes para avaliar se são reais ou complexas.
[tex3]f(x)=(x^2+x-1)^3+(2x^2-x-1)^3-27(x^2-1)^3[/tex3]
[tex3]f(0)=-1-1+27=25[/tex3]
[tex3]f(1)=1[/tex3]
[tex3]f(2)=5^3+5^3-27.27=-479[/tex3]
Então encontramos uma raiz.
[tex3]f(3)=-9749[/tex3]
[tex3]f(4)=-64583[/tex3]
É, pode ter certeza que esse negócio não volta mais a passar pelo eixo x.
[tex3]f(-1)=7[/tex3]
[tex3]f(-2)=1[/tex3]
[tex3]f(-3)=-5699[/tex3]
Outra raiz.
[tex3]f(-4)=-46919[/tex3]
Também não volta a cruzar o eixo x não.
Então acaba tendo duas raízes. Coloquei no Wolfram e ele só dá resultado numérico, creio que seja bem claro que o objetivo não é calcular as raízes para avaliar se são reais ou complexas.
Última edição: undefinied3 (Dom 11 Jun, 2017 20:23). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Jun 2017
11
20:32
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
CONTEM ERROS GROTESCOS, IGNOREM
Dei uma pensada e consegui!
Vou adicionar zero à [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3] :
[tex3]7x^3+9x^2+3x=7x^3+9x^2+3x+x^3-x^3+3x^2-3x^2+3x-3x+1-1[/tex3]
[tex3]7x^3+9x^2+3x=8x^3+12x^2+6x+1-x^3-3x^2-3x-1[/tex3]
Note que:
[tex3]8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3[/tex3]
[tex3]-x^3-3x^2-3x-1=(-1)^3(x+1)^3[/tex3]
Logo temos que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(2x+1)^3(-1)^3(x+1)^3[/tex3]
Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados da equação, encontramos:
[tex3]x^2+x+1=3k(2x+1)(x+1)[/tex3]
Como [tex3]k=x-1[/tex3] :
[tex3]x^2+x-1=3(x-1)(2x+1)(x+1)[/tex3]
[tex3]x^2+x-1=6x^3+3x^2-6x-3[/tex3]
[tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3]
Logo os valores de [tex3]x[/tex3] serão as raízes de [tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3] . Agora travei aqui, pois não estou conseguindo resolver esta equação. Vou tentar caçar alguma raiz, e quando eu achar eu executo o Teorema de Briot Ruffini e encontro as outras duas soluções. Mas por ser uma equação de terceiro grau, acredito que ela tenha 3 soluções (não estudei nada sobre equações de terceiro grau).
Resposta
Dei uma pensada e consegui!
Vou adicionar zero à [tex3]7x^3+9x^2+3x[/tex3] :
[tex3]7x^3+9x^2+3x=7x^3+9x^2+3x+x^3-x^3+3x^2-3x^2+3x-3x+1-1[/tex3]
[tex3]7x^3+9x^2+3x=8x^3+12x^2+6x+1-x^3-3x^2-3x-1[/tex3]
Note que:
[tex3]8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3[/tex3]
[tex3]-x^3-3x^2-3x-1=(-1)^3(x+1)^3[/tex3]
Logo temos que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(7x^3+9x^2+3x)[/tex3]
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(-1)^3(2x+1)^3(-1)^3(x+1)^3[/tex3]
Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados da equação, encontramos:
[tex3]x^2+x+1=3k(2x+1)(x+1)[/tex3]
Como [tex3]k=x-1[/tex3] :
[tex3]x^2+x-1=3(x-1)(2x+1)(x+1)[/tex3]
[tex3]x^2+x-1=6x^3+3x^2-6x-3[/tex3]
[tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3]
Logo os valores de [tex3]x[/tex3] serão as raízes de [tex3]6x^3+2x^2-7x-2=0[/tex3] . Agora travei aqui, pois não estou conseguindo resolver esta equação. Vou tentar caçar alguma raiz, e quando eu achar eu executo o Teorema de Briot Ruffini e encontro as outras duas soluções. Mas por ser uma equação de terceiro grau, acredito que ela tenha 3 soluções (não estudei nada sobre equações de terceiro grau).
Última edição: Lonel (Dom 11 Jun, 2017 20:32). Total de 4 vezes.
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Jun 2017
11
21:02
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
Lonel, infelizmente você cometeu um erro numa passagem lá no início:
"Temos então que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3] "
A fatoração ficou errada, o correto seria [tex3]k^3(3^3m^3-z^3)[/tex3]
"Temos então que:
[tex3](x^{2} + x - 1)^{3}+k^3z^3=3^3k^3m^3\Rightarrow(x^{2} + x - 1)^{3}=3^3k^3(m^3-z^3)[/tex3] "
A fatoração ficou errada, o correto seria [tex3]k^3(3^3m^3-z^3)[/tex3]
Última edição: undefinied3 (Dom 11 Jun, 2017 21:02). Total de 1 vez.
Ocupado com início do ano no ITA. Estarei fortemente inativo nesses primeiros meses do ano, então busquem outro moderador para ajudar caso possível.
Jun 2017
11
21:10
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
Puts. Agora faz mais sentido, pois joguei no wolfram e as raízes não batiam
Tambem cometi um erro grotesco na segunda mensagem
A solução é por Bonzano mesmo.
Tambem cometi um erro grotesco na segunda mensagem
A solução é por Bonzano mesmo.
Última edição: Lonel (Dom 11 Jun, 2017 23:48). Total de 4 vezes.
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Ago 2017
06
02:05
Re: Olimpíada da Índia - 2002 - Álgebra
Pesquisando pelo Fórum encontrei a solução desta questa, veja: http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... 32#p101232 . Mas desta forma: [tex3](x^2+x-2)^3+(2x^2-x-1)^3=27(x^2-1)^3[/tex3]
. A única diferença está dentro do primeiro parenteses, pois vc colocou -1 e neste tópico está -2.
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