Ensino Médio ⇒ Soma dos Divisores Positivos de um Inteiro Tópico resolvido

[rean]

Qual a soma de todos os divisores positivos de 1000?

[Thadeu]

Rean, existe uma regrinha para o cálculo dos divisores de um número:

1º) Decompõe-se o nº em fatores primos;
2º) à direita da decomposição colocamos um traço vertical, à direita, onde vamos colocar todos os divisores do número [tex3](1000).[/tex3]

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[tex3](1000).[/tex3]

Começamos pelo divisor [tex3]1,[/tex3]

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[tex3]1,[/tex3]

que é colocado acima; os demais são obtidos multiplicando-se cada fator primo da decomposição pelos divisores anteriormente encontrados, tomando-se o cuidado de não repetir aqueles que foram encontrados.

A decomposição de [tex3]1000[/tex3]

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[tex3]1000[/tex3]

é [tex3]2^3\times 5^3,[/tex3]

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[tex3]2^3\times 5^3,[/tex3]

e com isso o número de divisores é [tex3](3+1)(3+1)=16.[/tex3]

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[tex3](3+1)(3+1)=16.[/tex3]

• [tex3]\begin{array}{r|c|l}
  & & 1\\
  1000 & 2 & 2 \\
  500 & 2 & 4 \\
  250 & 2& 8 \\
  125 & 5 & 5,10,20,40 \\
  25 & 5 & 25,50,100,200 \\
  5& 5 & 125, 250, 500, 1000 \\
  1 & &\end{array}[/tex3]

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  [tex3]\begin{array}{r|c|l}
& & 1\\
1000 & 2 & 2 \\
500 & 2 & 4 \\
250 & 2& 8 \\
125 & 5 & 5,10,20,40 \\
25 & 5 & 25,50,100,200 \\
5& 5 & 125, 250, 500, 1000 \\
1 & &\end{array}[/tex3]

Os divisores são [tex3]\{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000\}[/tex3]

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[tex3]\{1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000\}[/tex3]

A soma é [tex3]1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+125+200+250+500+1000=2340.[/tex3]

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[tex3]1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+125+200+250+500+1000=2340.[/tex3]

[FMRY]

Dado o número [tex3]n=p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_j^{k_j},[/tex3]

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[tex3]n=p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_j^{k_j},[/tex3]

com [tex3]p_1, p_2,\ldots ,p_j[/tex3]

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[tex3]p_1, p_2,\ldots ,p_j[/tex3]

primos distintos e [tex3]k_1,k_2,\ldots , k_j[/tex3]

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[tex3]k_1,k_2,\ldots , k_j[/tex3]

inteiros positivos, a soma do divisores de [tex3]n[/tex3]

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[tex3]n[/tex3]

é dada por

• [tex3]S=\frac{{p_1}^{k_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{k_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdot \cdot \cdot \frac{p_j^{k_j+1}-1}{p_j - 1}[/tex3]

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  [tex3]S=\frac{{p_1}^{k_1+1}-1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2^{k_2+1} - 1}{p_2 - 1} \cdot \cdot \cdot \frac{p_j^{k_j+1}-1}{p_j - 1}[/tex3]

Temos que [tex3]1000=2^3 \cdot 5^3.[/tex3]

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[tex3]1000=2^3 \cdot 5^3.[/tex3]

Substituindo:

• [tex3]S=\frac{2^{3+1}-1}{2-1}\cdot \frac{5^{3+1}-1}{5-1}[/tex3]

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  [tex3]S=\frac{2^{3+1}-1}{2-1}\cdot \frac{5^{3+1}-1}{5-1}[/tex3]

  
  [tex3]S=\frac{2^{4}-1}{1}\cdot \frac{5^{4}-1}{4}[/tex3]

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  [tex3]S=\frac{2^{4}-1}{1}\cdot \frac{5^{4}-1}{4}[/tex3]

  
  [tex3]S=2340[/tex3]

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  [tex3]S=2340[/tex3]