Olimpíadas ⇒ IMO - Álgebra Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:17906)]

Encontre todas as raízes dá equação:
[tex3]\sqrt{x^{2} - p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x^{2} - p}[/tex3]

+ 2 [tex3]\sqrt{x^{2} - 1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x^{2} - 1}[/tex3]

= x, Onde x é um parâmetro real.

[Andre13000]

[tex3]\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x\\
x=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}+2\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}+2\tg\theta=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}=\sec\theta-2\tg\theta\\
\cancel{\sec^2\theta}-p=\cancel{\sec^2\theta}-4\sec\theta\tg\theta+4\tg^2\theta\\
4\tg^2\theta-4\sec\theta\tg\theta+p=0\\
\left(4\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}-4\frac{\sen\theta}{\cos^2\theta}+p\right)\cdot \cos^2\theta=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p\cos^2\theta=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p(1-\sen^2\theta)=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p-p\sen^2\theta=0\\
y=\sen\theta\\
4y^2-4y+p-py^2=0\\
y^2(4-p)-4y+p=0\\
y=\frac{4\pm\sqrt{16-4\cdot(4-p)\cdot p}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{4\pm\sqrt{16-16p+4p^2}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{4\pm2\sqrt{p^2-4p+4}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{2\pm\sqrt{(p-2)^2}}{4-p}\\
y=\frac{2\pm\left|p-2\right|}{4-p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x\\
x=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}+2\sqrt{\sec^2\theta-1}=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}+2\tg\theta=\sec\theta\\
\sqrt{\sec^2\theta-p}=\sec\theta-2\tg\theta\\
\cancel{\sec^2\theta}-p=\cancel{\sec^2\theta}-4\sec\theta\tg\theta+4\tg^2\theta\\
4\tg^2\theta-4\sec\theta\tg\theta+p=0\\
\left(4\frac{\sen^2\theta}{\cos^2\theta}-4\frac{\sen\theta}{\cos^2\theta}+p\right)\cdot \cos^2\theta=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p\cos^2\theta=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p(1-\sen^2\theta)=0\\
4\sen^2\theta-4\sen\theta+p-p\sen^2\theta=0\\
y=\sen\theta\\
4y^2-4y+p-py^2=0\\
y^2(4-p)-4y+p=0\\
y=\frac{4\pm\sqrt{16-4\cdot(4-p)\cdot p}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{4\pm\sqrt{16-16p+4p^2}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{4\pm2\sqrt{p^2-4p+4}}{2\cdot (4-p)}\\
y=\frac{2\pm\sqrt{(p-2)^2}}{4-p}\\
y=\frac{2\pm\left|p-2\right|}{4-p}[/tex3]

Vou começar outro LaTex pois este já está mostrando sinais de falecimento.

Para p>2:

[tex3]p-2\geq0\\
p\geq2\\
y=\frac{2\pm (p-2)}{4-p}\\
y_1=\frac{2+p-2}{4-p}\\
y_1=\frac{p}{4-p}\\
y_2=\frac{2-p+2}{4-p}\\
y_2=\frac{4-p}{4-p}\\
y_2=1\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p-2\geq0\\
p\geq2\\
y=\frac{2\pm (p-2)}{4-p}\\
y_1=\frac{2+p-2}{4-p}\\
y_1=\frac{p}{4-p}\\
y_2=\frac{2-p+2}{4-p}\\
y_2=\frac{4-p}{4-p}\\
y_2=1\\[/tex3]

Para p<2:

[tex3]p<2\\
y=\frac{2\pm\left(2-p\right)}{4-p}\\
y_3=\frac{2+2-p}{4-p}\\
y_3=1\\
y_4=\frac{2-2+p}{4-p}\\
y_4=\frac{p}{4-p}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]p<2\\
y=\frac{2\pm\left(2-p\right)}{4-p}\\
y_3=\frac{2+2-p}{4-p}\\
y_3=1\\
y_4=\frac{2-2+p}{4-p}\\
y_4=\frac{p}{4-p}[/tex3]

Nem sei se eu precisava estar fazendo isso mas eu sou roroso com módulos então só pra garantir... Depois alguém esclareça ai pra mim.

[tex3]\sen\theta=y\\
\sqrt{1-\cos^2\theta}=y\\
1-\cos^2\theta=y^2\\
\cos^2\theta=1-y^2\\
\cos\theta=\sqrt{1-y^2}\\
x=\sec\theta\\
\sec\theta=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\\
x=\sec\theta\\
x=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\\
x=\frac{1}{\sqrt{1-1^2}}\\[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen\theta=y\\
\sqrt{1-\cos^2\theta}=y\\
1-\cos^2\theta=y^2\\
\cos^2\theta=1-y^2\\
\cos\theta=\sqrt{1-y^2}\\
x=\sec\theta\\
\sec\theta=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\\
x=\sec\theta\\
x=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\\
x=\frac{1}{\sqrt{1-1^2}}\\[/tex3]

(não satisfaz)

[tex3]x_2=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{p}{4-p}\right)^2}}\\
x=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\frac{p^2}{p^2-8p+16}}}\cdot \frac{\sqrt{p^2-8p+16}}{\sqrt{p^2-8p+16}}\\
x=\pm\frac{\sqrt{p^2-8p+16}}{\sqrt{p^2-8p+16-p^2}}\\
x=\pm\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}\\
x_1=+\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}\\
x_2=-\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_2=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{p}{4-p}\right)^2}}\\
x=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\frac{p^2}{p^2-8p+16}}}\cdot \frac{\sqrt{p^2-8p+16}}{\sqrt{p^2-8p+16}}\\
x=\pm\frac{\sqrt{p^2-8p+16}}{\sqrt{p^2-8p+16-p^2}}\\
x=\pm\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}\\
x_1=+\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}\\
x_2=-\frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]

Obs: A solução que o wolfram alpha apresente está diferente - ela apresenta os sinais trocados dentro da raíz - então eu errei algo no desenvolvimento da questão mas vou postar assim mesmo porque a resolução está certa, só troquei algum sinal em um canto aí.

Solução do wolfram alpha:

[tex3]x_1=\frac{\sqrt{-p^2+8p-16}}{2\sqrt{2}\sqrt{p-2}}\\
x_2=-\frac{\sqrt{-p^2+8p-16}}{2\sqrt{2}\sqrt{p-2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x_1=\frac{\sqrt{-p^2+8p-16}}{2\sqrt{2}\sqrt{p-2}}\\
x_2=-\frac{\sqrt{-p^2+8p-16}}{2\sqrt{2}\sqrt{p-2}}[/tex3]

Edit: na verdade a minha está certa, pois se você tirar o -1 da raíz fica a unidade imaginária para fora, que cancela com a que saiu em baixo. Dessa forma, são respostas equivalente. Me corrijam se eu estiver errado.

[Auto Excluído (ID:17906)]

Muito Obrigado Andre1300!

[undefinied3]

"Nem sei se eu precisava estar fazendo isso mas eu sou roroso com módulos então só pra garantir... Depois alguém esclareça ai pra mim."

O [tex3]\pm[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm[/tex3]

da fórmula de Bháskara já vem pra não ter que trabalhar com o módulo. [tex3]\pm |x|[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pm |x|[/tex3]

é redundante, não precisava fazer aquela análise, mas tá certo sim

[jomatlove]

Outra resolução:
[tex3]\sqrt{x^{2}-p}=x-2\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt{x^{2}-p}=x-2\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

[tex3]x^{2}-p=x^{2}+4(x^{2}-1)-4x\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}-p=x^{2}+4(x^{2}-1)-4x\sqrt{x^{2}-1}[/tex3]

[tex3]4x\sqrt{x^{2}-1}=4(x^{2}-1)+p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4x\sqrt{x^{2}-1}=4(x^{2}-1)+p[/tex3]

[tex3]16x^{2}(x^{2}-1)=16(x^{2}-1)^{2}+8p(x^{2}-1)+p^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16x^{2}(x^{2}-1)=16(x^{2}-1)^{2}+8p(x^{2}-1)+p^{2}[/tex3]

[tex3]16x^{4}-16x^{2}=16x^{4}-32x^{2}+16+8px^{2}-8p+p^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16x^{4}-16x^{2}=16x^{4}-32x^{2}+16+8px^{2}-8p+p^{2}[/tex3]

[tex3]16x^{2}-8px^{2}+8p-p^{2}-16=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]16x^{2}-8px^{2}+8p-p^{2}-16=0[/tex3]

[tex3](16-8p)x^{2}-(p^{2}-8p+16)=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](16-8p)x^{2}-(p^{2}-8p+16)=0[/tex3]

[tex3](16-8p)x^{2}-(p-4)^{2}=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](16-8p)x^{2}-(p-4)^{2}=0[/tex3]

[tex3]x^{2}=\frac{(p-4)^{2}}{8(2-p)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}=\frac{(p-4)^{2}}{8(2-p)}[/tex3]

[tex3]x= \frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x= \frac{|p-4|}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]

Onde a condição de existência é p<2.Mas,para essa condição temos que [tex3]|p-4|=4-p[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|p-4|=4-p[/tex3]

.Assim,resulta:
[tex3]x=\frac{4-p}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x=\frac{4-p}{2\sqrt{2}\sqrt{2-p}}[/tex3]