Ensino Médio

Mensagem não lidapor **petras** » 04 Abr 2017, 00:05 · Mensagem não lida por **petras** » 04 Abr 2017, 00:05

No triângulo ABC de lados a,b e c e semi perímetro p. qual a distância do vértice A ao incentro do triângulo?

a) raizde(p-a)bc/p
b) raizde(p-b)ac/p
c) raizde(p-c)ab/p
d) raizdeabc/p
d)raizdeabc/2p

Mensagem não lidapor **csmarcelo** » 04 Abr 2017, 13:34 · Mensagem não lida por **csmarcelo** » 04 Abr 2017, 13:34

Petras,

Estou aproveitando um curto espaço de tempo que tenho agora.

Não tenho como desenhar, tampouco cheguei na solução, mas acho que dá pra aproveitar algo do que desenvolvi.

Se ninguém conseguir resolver, tento novamente mais tarde.

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Trace as alturas relativas aos lados b e c, intersectando-os em B' e C', respectivamente, passando pelo incentro [tex3]I[/tex3] .

[tex3]x[/tex3] é a medida dos segmentos [tex3]AB'[/tex3] e [tex3]AC'[/tex3] .

[tex3]B'C=m[/tex3]
[tex3]C'B=n[/tex3]

[tex3]\begin{cases}b=x+m\\c=x+n\end{cases}\rightarrow b+c=2x+m+n[/tex3]

Mas repare que [tex3]m+n=a[/tex3] . Logo,

[tex3]b+c=2x+a\rightarrow x=\frac{b+c-a}{2}[/tex3]

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Além disso, temos que

[tex3]S=p\cdot r[/tex3] , onde

[tex3]S[/tex3] é área do triângulo.
[tex3]p[/tex3] é o semiperímetro.
[tex3]r[/tex3] é o raio da circunferência inscrita.

Daí,

[tex3]r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}[/tex3]

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Por Pitágoras,

[tex3]AI^2=r^2+x^2[/tex3]

Realizando as devidas substituições,

[tex3]AI^2=\left(\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}\right)^2+\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]AI=\sqrt{\frac{4(p-a)(p-b)(p-c)+p(b+c-a)^2}{4p}}[/tex3]

Mensagem não lidapor **undefinied3** » 04 Abr 2017, 19:56

Considere a bissetriz saindo de A que divide o lado a nos segmentos m e a-m. Seja P esse ponto de interseção com BC. Pelo teorema da bissetriz:

[tex3]\frac{b}{m}=\frac{c}{a-m} \rightarrow cm=ab-bm \rightarrow m=\frac{ab}{b+c}[/tex3]

Considere a bissetriz saindo de C, ela irá cortar AP em Q. Aplicando teorema da bissetriz novamente;

[tex3]\frac{b}{n}=\frac{m}{p} \rightarrow \frac{b}{m}=\frac{n}{p} \rightarrow \frac{b}{b+m}=\frac{n}{x}[/tex3]
[tex3]\therefore n=\frac{bx}{b+m}=x.\frac{b}{b+\frac{ab}{b+c}}=x.\frac{b^2+bc}{b^2+bc+ab}=x.\frac{b+c}{a+b+c}[/tex3]

Ok, vamos usar Stewart pra calcular o tamanho da bissetriz, ou seja, n+p.

[tex3]b^2(a-m)+c^2m=a(x^2+m(a-m))[/tex3]
[tex3]\frac{b^2(a-m)+c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^2m}{a}+\frac{c^2m}{a}-am+m^2=x^2[/tex3]
[tex3]b^2-\frac{b^3}{b+c}+\frac{bc^2}{b+c}-\frac{a^2b}{b+c}+\frac{a^2b^2}{(b+c)^2}=x^2[/tex3]
Desenvolvendo e reduzindo os termos semelhantes, obtemos:
[tex3]x^2=\frac{bc(b+c-a)(a+b+c)}{(b+c)^2}[/tex3]

Portanto:

[tex3]n=\frac{\sqrt{bc(b+c-a)(a+b+c)}}{b+c}.\frac{b+c}{a+b+c}=\sqrt{\frac{(bc)(b+c-a)}{a+b+c}}=\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}[/tex3]

Deve ter outro jeito mais fácil, mas é o que saiu.

Mensagem não lidapor **petras** » 04 Abr 2017, 20:06 · Mensagem não lida por **petras** » 04 Abr 2017, 20:06

Mas é uma bela resolução. Grato

Ensino Médio ⇒ Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo Tópico resolvido

Cálculo da Distância do Incentro ao Vértice do Triângulo

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