Olimpíadas ⇒ (OBMEP) Geometria plana Tópico resolvido

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Uma tira de papel retangular, branca de um e cinza do outro, foi dobrada como na figura. Qual é a medida do ângulo alfa?

Resposta: 120°

[rodBR]

Olá Odin, bom dia.

No triângulo abaixo vamos inicialmente calcular o valor do ângulo [tex3]\beta[/tex3]

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[tex3]\beta[/tex3]

, utilizando a razão trigonométrica seno:

[tex3]sen(\beta )=\frac{1}{2}\rightarrow \beta =30°[/tex3]

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[tex3]sen(\beta )=\frac{1}{2}\rightarrow \beta =30°[/tex3]

Agora veja que temos que os triângulos [tex3]\Delta ABC\ e\ \Delta BDE[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC\ e\ \Delta BDE[/tex3]

, são congruentes ([tex3]\Delta ABC ≡ \Delta BDE[/tex3]

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[tex3]\Delta ABC ≡ \Delta BDE[/tex3]

), pelo caso de congruência [tex3]ALA[/tex3]

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[tex3]ALA[/tex3]

:

Disso implica que [tex3]\overline{BC}≡\overline{BE}[/tex3]

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[tex3]\overline{BC}≡\overline{BE}[/tex3]

, logo o triângulo [tex3]\Delta BCE\ é\ isósceles\ de\ base\ \overline{EC}[/tex3]

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[tex3]\Delta BCE\ é\ isósceles\ de\ base\ \overline{EC}[/tex3]

. Então Teremos:

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, implica que o angulo CBE=120° [tex3]\rightarrow \alpha =120,\ pois\ \alpha \ é\ um\ ângulo\ oposto\ pelo\ vértice[/tex3]

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[tex3]\rightarrow \alpha =120,\ pois\ \alpha \ é\ um\ ângulo\ oposto\ pelo\ vértice[/tex3]

Att>>rodBR.