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9
IME / ITA ⇒ (Farias Brito) Função Composta Tópico resolvido
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Gu178
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Mar 2017
25
15:05
(Farias Brito) Função Composta
Seja [tex3]f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}[/tex3]
uma função tal que f(x) é a soma dos algarismos de x no sistema de numeração decimal. Se [tex3]x_{0}=0[/tex3]
e, para todo natural n, [tex3]x_{x+1}=f(f(x_{n})+x_{n}+1)[/tex3]
, o valor de [tex3]x_{1992}[/tex3]
é:
9
9
Editado pela última vez por Gu178 em 25 Mar 2017, 15:05, em um total de 1 vez.
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Ittalo25
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Mar 2017
25
15:34
Re: (Farias Brito) Função Composta
Começa usando a informação que ele deu [tex3]x_{0}=0[/tex3]
[tex3]x_{1}=f(f(x_{0})+x_{0}+1) =f(1) = 1[/tex3]
[tex3]x_{2}=f(f(x_{1})+x_{1}+1) = f(f(1)+1+1) =f(3) = 3[/tex3]
[tex3]x_{3}=f(f(x_{2})+x_{2}+1) =f(f(3)+3+1) = f(7) = 7[/tex3]
[tex3]x_{4}=f(f(x_{3})+x_{3}+1) =f(f(7)+7+1) = f(15) = 6[/tex3]
[tex3]x_{5}=f(f(x_{4})+x_{4}+1) =f(f(6)+6+1) = f(13) = 4[/tex3]
[tex3]x_{6}=f(f(x_{5})+x_{5}+1) =f(f(4)+4+1) = f(9) = 9[/tex3]
[tex3]x_{7}=f(f(x_{6})+x_{6}+1) =f(f(9)+9+1) = f(19) = 10[/tex3]
[tex3]x_{8}=f(f(x_{7})+x_{7}+1) =f(f(10)+10+1) = f(12) = 3[/tex3]
Agora como [tex3]x_{2} = x_{8}[/tex3] o padrão vai acontecer.
Temos [tex3]x_{1} = 1[/tex3] e os termos se repetem de seis em seis a partir do [tex3]x_{2}[/tex3]
Então para descobrir o [tex3]x_{1992}[/tex3] fazemos;
[tex3]\frac{1992-1}{6} =331\cdot 6 + 5[/tex3]
Logo na sequencia de repetição de 6 em 6, eles é o quinto termo, assim;
[tex3]x_{1992} = x_{6} = 9[/tex3]
[tex3]x_{1}=f(f(x_{0})+x_{0}+1) =f(1) = 1[/tex3]
[tex3]x_{2}=f(f(x_{1})+x_{1}+1) = f(f(1)+1+1) =f(3) = 3[/tex3]
[tex3]x_{3}=f(f(x_{2})+x_{2}+1) =f(f(3)+3+1) = f(7) = 7[/tex3]
[tex3]x_{4}=f(f(x_{3})+x_{3}+1) =f(f(7)+7+1) = f(15) = 6[/tex3]
[tex3]x_{5}=f(f(x_{4})+x_{4}+1) =f(f(6)+6+1) = f(13) = 4[/tex3]
[tex3]x_{6}=f(f(x_{5})+x_{5}+1) =f(f(4)+4+1) = f(9) = 9[/tex3]
[tex3]x_{7}=f(f(x_{6})+x_{6}+1) =f(f(9)+9+1) = f(19) = 10[/tex3]
[tex3]x_{8}=f(f(x_{7})+x_{7}+1) =f(f(10)+10+1) = f(12) = 3[/tex3]
Agora como [tex3]x_{2} = x_{8}[/tex3] o padrão vai acontecer.
Temos [tex3]x_{1} = 1[/tex3] e os termos se repetem de seis em seis a partir do [tex3]x_{2}[/tex3]
Então para descobrir o [tex3]x_{1992}[/tex3] fazemos;
[tex3]\frac{1992-1}{6} =331\cdot 6 + 5[/tex3]
Logo na sequencia de repetição de 6 em 6, eles é o quinto termo, assim;
[tex3]x_{1992} = x_{6} = 9[/tex3]
Editado pela última vez por Ittalo25 em 25 Mar 2017, 15:34, em um total de 1 vez.
Ninguém pode ser perfeito, mas todos podem ser melhores. [\Bob Esponja]
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Hanon
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