Física I ⇒ Energia mecânica: sistema massa-mola

[yamunaque]

Olá. Gostaria de pedir uma força na seguinte questão:

Há dois objetos de massa m e M presos a duas extremidades de uma mola de constante K na horizontal. Inicialmente o sistema estava em repouso, quando a mola é comprimida com Dx= L. Segue também a imagem na questão 1-(1) que ilustra o que coloquei:

Screen Shot 2017-03-24 at 19.06.33.png (8.02 KiB) Exibido 1739 vezes

Pede-se a velocidade máxima do corpo de massa m dentre as alternativas:

a) [tex3]\sqrt{\frac{K.L²}{m}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{K.L²}{m}}[/tex3]

b) [tex3]\sqrt{\frac{K.L²}{M + m}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{K.L²}{M + m}}[/tex3]

c) [tex3]\sqrt{\frac{MKL²}{m(M + m)}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{MKL²}{m(M + m)}}[/tex3]

d) [tex3]\sqrt{\frac{KL²}{M}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{KL²}{M}}[/tex3]

e) [tex3]\sqrt{\frac{KL²}{|M + m|}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{KL²}{|M + m|}}[/tex3]

f) [tex3]\sqrt{\frac{MKL²}{m(|M + m|)}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{MKL²}{m(|M + m|)}}[/tex3]

Gabarit: C

[jedi]

A máxima velocidade se da no momento e que os dois objetos são soltos e temos a conversão da energia da mola em energia cinética.
utilizando a conservação de energia

[tex3]E=k\frac{L^2}{2}=\frac{M.v_1^2}{2}+\frac{m.v_2^2}{2}[/tex3]

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[tex3]E=k\frac{L^2}{2}=\frac{M.v_1^2}{2}+\frac{m.v_2^2}{2}[/tex3]

pela conservação do momento

[tex3]M.v_1+m.v_2=0[/tex3]

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[tex3]M.v_1+m.v_2=0[/tex3]

[tex3]v_1=-\frac{m.v_2}{M}[/tex3]

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[tex3]v_1=-\frac{m.v_2}{M}[/tex3]

[tex3]k\frac{L^2}{2}=\frac{M.\left(-\frac{m.v_2}{M}\right)^2.v_1^2}{2}+\frac{m.v_2^2}{2}[/tex3]

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[tex3]k\frac{L^2}{2}=\frac{M.\left(-\frac{m.v_2}{M}\right)^2.v_1^2}{2}+\frac{m.v_2^2}{2}[/tex3]

[tex3]k.L^2=\left(\frac{m^2}{M}+m\right).v_2^2[/tex3]

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[tex3]k.L^2=\left(\frac{m^2}{M}+m\right).v_2^2[/tex3]

[tex3]k.L^2=\frac{m(m+M)}{M}.v_2^2[/tex3]

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[tex3]k.L^2=\frac{m(m+M)}{M}.v_2^2[/tex3]

[tex3]v_2=\sqrt{\frac{M.k.L^2}{m(m+M)}}[/tex3]

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[tex3]v_2=\sqrt{\frac{M.k.L^2}{m(m+M)}}[/tex3]

[Andre13000]

[tex3]\frac{kL^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{MV^2}{2}\\
kL^2=mv^2+MV^2\\
F_m=F_M\\
ma_m-MA_M=0\\
m\frac{dv_m}{dt}-M\frac{dV_M}{dt}=0\\
\int mdv_m-MdV_M=\int 0\cdot{dt}\\
mv_m-MV_M=0\\
V_M=\frac{mv_m}{M}\\
mv_m^2=kL^2-MV_M^2\\
mv_m^2=kL^2-M\left(\frac{mv_m}{M}\right)^2\\
mv_m^2=kL^2-\frac{m^2v_m^2}{M}\\
mv^2_m+\frac{m^2v_m^2}{M}=kL^2\\
v^2_m\left(m+\frac{m^2}{M}\right)=kL^2\\
v^2_m\left(\frac{Mm+m^2}{M}\right)=kL^2\\
v^2_m=\frac{MkL^2}{m(M+m)}\\
v_m=\sqrt{\frac{MkL^2}{m(M+m)}}[/tex3]

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[tex3]\frac{kL^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+\frac{MV^2}{2}\\
kL^2=mv^2+MV^2\\
F_m=F_M\\
ma_m-MA_M=0\\
m\frac{dv_m}{dt}-M\frac{dV_M}{dt}=0\\
\int mdv_m-MdV_M=\int 0\cdot{dt}\\
mv_m-MV_M=0\\
V_M=\frac{mv_m}{M}\\
mv_m^2=kL^2-MV_M^2\\
mv_m^2=kL^2-M\left(\frac{mv_m}{M}\right)^2\\
mv_m^2=kL^2-\frac{m^2v_m^2}{M}\\
mv^2_m+\frac{m^2v_m^2}{M}=kL^2\\
v^2_m\left(m+\frac{m^2}{M}\right)=kL^2\\
v^2_m\left(\frac{Mm+m^2}{M}\right)=kL^2\\
v^2_m=\frac{MkL^2}{m(M+m)}\\
v_m=\sqrt{\frac{MkL^2}{m(M+m)}}[/tex3]

Veja que a equação [tex3]mv_m-MV_M=0[/tex3]

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[tex3]mv_m-MV_M=0[/tex3]

é simplesmente a quantidade de movimento do sistema, e não precisa utilizar-se dos artifícios que usei para provar isso pois como o sistema estava inicialmente parado, logicamente vai continuar parado, ou seja a quantidade de movimento resultante deste é zero.

Edit: kkkkkk esse time aí kkkkkk.

[314159265]

A velocidade máxima ocorrerá quando a mola tiver passando pela sua posição natural, correto? Depois que ela começar a se distender, ela vai atuar no sentido de frear o movimento e portanto diminuir a velocidade das massas. Na situação inicial eu tenho apenas a energia elástica da mola, pois as duas massas estão em repouso. Na situação final, com a mola na sua posição natural, teremos apenas energia cinética das duas massas. Como nenhuma energia se perdeu ao longo do processo, faremos a seguinte igualdade:

[tex3]\frac{kL^2}{2}=\frac{mV_m^2}{2}+\frac{MV_M^2}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{kL^2}{2}=\frac{mV_m^2}{2}+\frac{MV_M^2}{2}[/tex3]

[tex3]kL^2=mV_m^2+MV_M^2[/tex3]

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[tex3]kL^2=mV_m^2+MV_M^2[/tex3]

Mas eu sei que a força elástica que vai atuar nas duas massas é igual porque ela só depende da compressão da mola (Fel = kx). Como ela é a única força atuante, temos:

[tex3]F_{el}=ma_m[/tex3]

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[tex3]F_{el}=ma_m[/tex3]

[tex3]F_{el}=Ma_M[/tex3]

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[tex3]F_{el}=Ma_M[/tex3]

[tex3]ma_m=Ma_M[/tex3]

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[tex3]ma_m=Ma_M[/tex3]

[tex3]a_M=\frac{m}{M}a_m[/tex3]

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[tex3]a_M=\frac{m}{M}a_m[/tex3]

A aceleração aqui é variável, pois quanto mais a mola estiver próxima da posição natural, menor será a força elástica. Isso porque ela estará cada vez menos comprimida e já vimos que a força elástica depende da compressão dela. Vamos imaginar que a aceleração de m seja o dobro da aceleração de M (considerando a razão [tex3]\frac{m}{M}=2[/tex3]

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[tex3]\frac{m}{M}=2[/tex3]

). Você concorda que em qualquer instante do movimento em que eu medir as velocidades de m e M, [tex3]V_m[/tex3]

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[tex3]V_m[/tex3]

vai ser o dobro de [tex3]V_M[/tex3]

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[tex3]V_M[/tex3]

? Então se a razão entre acelerações é a mesma razão entre as velocidades, eu posso substituir [tex3]a_M[/tex3]

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[tex3]a_M[/tex3]

por [tex3]V_M[/tex3]

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[tex3]V_M[/tex3]

e [tex3]a_m[/tex3]

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[tex3]a_m[/tex3]

por [tex3]V_m[/tex3]

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[tex3]V_m[/tex3]

sem nenhum prejuízo, certo? Ficaria assim:

[tex3]V_M=\frac{m}{M}V_m[/tex3]

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[tex3]V_M=\frac{m}{M}V_m[/tex3]

[tex3]V_M^2=\frac{m^2}{M^2}V_m^2[/tex3]

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[tex3]V_M^2=\frac{m^2}{M^2}V_m^2[/tex3]

Substituindo na primeira equação, quando igualamos as energias:

[tex3]kL^2=m(V_m)^2+M(V_M)^2[/tex3]

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[tex3]kL^2=m(V_m)^2+M(V_M)^2[/tex3]

[tex3]kL^2=mV_m^2+M\frac{m^2}{M^2}V_m^2[/tex3]

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[tex3]kL^2=mV_m^2+M\frac{m^2}{M^2}V_m^2[/tex3]

[tex3]kL^2=V_m^2(m+\frac{m^2}{M})[/tex3]

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[tex3]kL^2=V_m^2(m+\frac{m^2}{M})[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{kL^2}{m+\frac{m^2}{M}}}=V_m[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{kL^2}{m+\frac{m^2}{M}}}=V_m[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{kL^2}{m+\frac{m^2}{M}}}=V_m[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{kL^2}{m+\frac{m^2}{M}}}=V_m[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{MkL^2}{Mm+m^2}}=V_m[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{MkL^2}{Mm+m^2}}=V_m[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{MkL^2}{m(M+m)}}=V_m[/tex3]

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[tex3]\sqrt{\frac{MkL^2}{m(M+m)}}=V_m[/tex3]