Ensino MédioSistema do 2º grau

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jomatlove
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Mar 2017 22 10:33

Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por jomatlove »

Resolver:

[tex3]\begin{cases}
2x^{2}+3xy+y^{2}=70 \\
6x^{2}+xy-y^{2}=50
\end{cases}[/tex3]

:(:(

Última edição: jomatlove (Qua 22 Mar, 2017 10:33). Total de 1 vez.


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Ittalo25
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Re: Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por Ittalo25 »

[tex3]\begin{cases}
2x^{2}+3xy+y^{2}=70 \\
6x^{2}+xy-y^{2}=50
\end{cases}[/tex3]

Fazendo [tex3]x = ky[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2k^2y^2+3ky^2+y^{2}=70 \\
6k^2y^2+ky^2-y^{2}=50
\end{cases}[/tex3]

Dividindo as duas equações:

[tex3]\frac{2k^2y^2+3ky^2+y^{2}}{6k^2y^2+ky^2-y^{2}} = \frac{70}{50}[/tex3]
[tex3]\frac{2k^2+3k+1}{6k^2+k-1} = \frac{7}{5}[/tex3]
[tex3]k = \frac{3}{4}[/tex3]

Portanto: Fazendo [tex3]x = \frac{3y}{4}[/tex3]

Substituindo em qualquer das equações:

[tex3]2x^{2}+3xy+y^{2}=70[/tex3]
[tex3]\frac{9y^2}{8}+\frac{9y^2}{4}+y^{2}=70[/tex3]
[tex3]y = \pm 4[/tex3]

Logo os pares de soluções (x,y) são: (3,4) e (-3,-4)

Última edição: Ittalo25 (Qua 22 Mar, 2017 11:06). Total de 1 vez.


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undefinied3
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Re: Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por undefinied3 »

O que garante que x é uma funcao linear de y para poder fazer x=ky? E se, por exemplo, fosse x=ky^2?


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Andre13000
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Mar 2017 22 15:27

Re: Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por Andre13000 »

Olá undefinied,

O amigo ali encima usou uma técnica que é muito útil, mas você deve entender em que casos essa técnica funciona e em que casos não.

Esse método é muito usado na resolução de equações diferenciais, onde se você substituir [tex3]x=\lambda{x}[/tex3] e [tex3]y=\lambda{y}[/tex3] e a equação continuar a mesma, você tem uma equação homogênea. À primeira vista, não parecem equações homogêneas, mas observe que:

[tex3]\frac
{2x^{2}+3xy+y^{2}}{6x^{2}+xy-y^{2}}=\frac{7}{5}\\
\rightarrow \frac
{2x^{2}\lambda^2+3xy\lambda^2+y^{2}\lambda^2}{6x^{2}\lambda^2+xy\lambda^2-y^{2}\lambda^2}=\frac
{2x^{2}+3xy+y^{2}}{6x^{2}+xy-y^{2}}=\frac{7}{5}[/tex3]

Veja que agora virou uma equação homogênea. Então a substituição é válida. Não sei se o amigo de cima negligenciou este fato, mas é provável que não. Mas devia ter explicado com maior clareza esse método, pois se aplicado erroneamente, pode prejudicá-lo.
Última edição: Andre13000 (Qua 22 Mar, 2017 15:27). Total de 2 vezes.


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Ittalo25
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Re: Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por Ittalo25 »

undefinied3 escreveu: O que garante que x é uma funcao linear de y para poder fazer x=ky? E se, por exemplo, fosse x=ky^2?
A garantia é que a imagem de uma função linear é o conjunto dos números reais, então numa função F(k) = x = yk, o x pode assumir qualquer valor no conjunto dos reais, independentemente do valor de y. Em palavras mais simples, não importa qual o valor de y, sempre vai existir um valor para k tal que x = yk

Assim como eu poderia usar F(k) = x = y²k tranquilamente, mas não seria interessante para resolver o problema, já que não daria para simplificar o y.

Outro exemplo seria; x = ytg(a)

A imagem de tg(a) é todo o conjunto dos reais, logo para qualquer valor y sempre vai existir um valor para tg(a) que torne a igualdade verdadeira.
Última edição: Ittalo25 (Qua 22 Mar, 2017 22:23). Total de 1 vez.


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undefinied3
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Re: Sistema do 2º grau

Mensagem não lida por undefinied3 »

Muito obrigado, Andre e Ittalo. Não conhecia esse método, apesar de conhecer o da substituição [tex3]x=y.tg(\theta)[/tex3] . A analogia fez todo sentido pra mim.

Última edição: undefinied3 (Qui 23 Mar, 2017 08:38). Total de 3 vezes.


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