Olimpíadas ⇒ Conjuntos Numéricos: Múltiplos de um Inteiro

[rean]

Qual o menor inteiro positivo que devemos adicionar a [tex3]2^{100} + 3^{100}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{100} + 3^{100}[/tex3]

para obter um múltiplo de [tex3]17?[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]17?[/tex3]

[Cássio]

Pelo teorema de Euler:

[tex3]2^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

[tex3](2^{16})^6\equiv 1^{6}\pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](2^{16})^6\equiv 1^{6}\pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]2^{96}\equiv1\pmod {17}\Longrightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{96}\equiv1\pmod {17}\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]2^{100}\equiv 16\pmod{17}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{100}\equiv 16\pmod{17}[/tex3]

----------------------------------------------

[tex3]3^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{16}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]3^{96}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{96}\equiv 1 \pmod{17}\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]3^{100}\equiv 4\pmod{17}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]3^{100}\equiv 4\pmod{17}[/tex3]

-----------------------------------------------

[tex3]2^{100}+3^{100}\equiv 16+4\equiv 3\pmod{17}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2^{100}+3^{100}\equiv 16+4\equiv 3\pmod{17}[/tex3]

Logo, o menor número que deve ser somado é [tex3]14.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]14.[/tex3]