Ensino Médio ⇒ Função ímpar Tópico resolvido

[Gu178]

Seja [tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3]

uma função ímpar, tal que [tex3]f(x+5)=f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x+5)=f(x)[/tex3]

, [tex3]\forall~x~\in ~\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]\forall~x~\in ~\mathbb{R}[/tex3]

e [tex3]f(\frac{1}{3})=1[/tex3]

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[tex3]f(\frac{1}{3})=1[/tex3]

. O valor da soma [tex3]f(\frac{16}{3})+f(\frac{29}{3})+f(12)+f(-7)[/tex3]

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[tex3]f(\frac{16}{3})+f(\frac{29}{3})+f(12)+f(-7)[/tex3]

é:

Resposta

---

0

[Rafa2604]

A função é uma função ímpar, então temos que: [tex3]f(-x) = -f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(-x) = -f(x)[/tex3]

.
[tex3]f(x+5) = f(x)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x+5) = f(x)[/tex3]

e [tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1[/tex3]

.

[tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1 \;\; \rightarrow \; \; f\left ( \frac{1}{3} + 5 \right) = 1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( \frac{16}{3} \right) = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1 \;\; \rightarrow \; \; f\left ( \frac{1}{3} + 5 \right) = 1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( \frac{16}{3} \right) = 1[/tex3]

[tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1 \;\; \rightarrow \; \; f\left (- \frac{1}{3} \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( -\frac{1}{3} + 5 \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\;f\left ( \frac{14}{3} \right) = -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left ( \frac{1}{3} \right) = 1 \;\; \rightarrow \; \; f\left (- \frac{1}{3} \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( -\frac{1}{3} + 5 \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\;f\left ( \frac{14}{3} \right) = -1[/tex3]

[tex3]f\left ( \frac{14}{3} \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( \frac{14}{3} + 5 \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\ f\left ( \frac{29}{3} \right) = -1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left ( \frac{14}{3} \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\; f\left ( \frac{14}{3} + 5 \right) = -1 \;\; \rightarrow \;\ f\left ( \frac{29}{3} \right) = -1[/tex3]

[tex3]f\left ( \frac{16}{3} \right) + f\left ( \frac{29}{3} \right) = 1 - 1 = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f\left ( \frac{16}{3} \right) + f\left ( \frac{29}{3} \right) = 1 - 1 = 0[/tex3]

Só consegui encontrar até essa parte, não sei como achar f(12) e f(-7).

[petras]

Completando a resolução da Rafa
f(-7) = f(-12+5) = f(-12) mas f(-12) = -f(12) portanto f(-7) = -f(12)

Portanto na equação: f(12) -f(-7) = f(12) -f(12) = 0