IME / ITA ⇒ (CN) Sistema de equações do primeiro grau

[jpmp2702]

Para que o sistema [tex3]\begin{cases}
k+(k-2)y = K \\
(k+2)x+3y=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
k+(k-2)y = K \\
(k+2)x+3y=1
\end{cases}[/tex3]

seja indeterminado, devemos ter k igual a:
A)4
B)-4
C)1
D)-1
E)NRA


Resp: D

[Andre13000]

Tenho quase certeza que tem algo de errado com o seu problema, mas vamos em frente.
Temos o sistema abaixo:

[tex3]\begin{cases}
k+(k-2)y = K \\
(k+2)x+3y=1
\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}
k+(k-2)y = K \\
(k+2)x+3y=1
\end{cases}[/tex3]

Escrevendo na forma matricial:

[tex3]\begin{pmatrix}
0 & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
K-k \\
1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
0 & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
K-k \\
1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Pela regra de Cramer:

[tex3]\frac{D_x}{D}=x\\
\frac{D_y}{D}=y[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{D_x}{D}=x\\
\frac{D_y}{D}=y[/tex3]

[tex3]\left|\begin{pmatrix}
0 & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix}\right|[/tex3]

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[tex3]\left|\begin{pmatrix}
0 & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix}\right|[/tex3]

Tá osso de escrever o determinante aqui... kkkkk. Se você não entender te explico depois.

O importante é que a condição para indeterminância de um sistema é que D seja 0.

O determinante de D vai dar:

[tex3]k^2-4=0\therefore k=\pm2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k^2-4=0\therefore k=\pm2[/tex3]

Achei muito estranho essa resposta. Não sei o que está acontecendo.

[jpmp2702]

Vlw mano, acabei de ver aqui q errei quando escrevi a questão, o K (maiúsculo)era na verdade um k (minúsculo), mal ai

[Auto Excluído (ID:17092)]

Eu acredito que o sistema de equações mencionado seja [tex3]\begin{cases}kx+(k-2)y = k \\(k+2)x + 3y = 1\end{cases}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{cases}kx+(k-2)y = k \\(k+2)x + 3y = 1\end{cases}[/tex3]

. O colega acima sugeriu a resolução pelo método de Cramer. Se aplicá-lo chegará na resposta. Antes de encerrar a mensagem, eu gostaria de abrir um pouco a sua mente sobre sistemas.
No sistema do exercício, nós temos duas retas. Quando temos um sistema determinado, nós temos um ponto comum entre as duas retas. Quando temos um sistema indeterminado, nós temos que as retas são coincidentes, ou seja, todos os pontos de uma reta são comuns com a outra. No sistema impossível, nós não temos encontro nenhum.
O raciocínio anterior é simples. Tem nos livros. Mas, quando chegar no ensino superior pode ser um auxiliar na tomada de decisões e na confirmação do seu raciocínio. Veja como seria malandragem jogar o k = -1 no sistema e verificar que realmente temos duas retas iguais.

[The8HK]

Vejo que ninguém postou a resolução completa, então aqui vai.

Para que um sistema seja indeterminado, sua determinante deve ser igual a zero, assim como a determinante decorrente da substituição dos termos independentes no sistema original (pois, desta forma, pela regra de Cramer, [tex3]\frac{Dx}{D}=\frac{0}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{Dx}{D}=\frac{0}{0}[/tex3]

, de forma que qualquer número é solução).

[tex3]\begin{pmatrix}
k & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
k & k-2 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
k & k \\
k+2 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\begin{pmatrix}
k & k-2 \\
k+2 & 3 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
k & k-2 \\
1 & 3 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
k & k \\
k+2 & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

=0

Igualando a primeira determinante a zero, vemos que [tex3]k^{2}-3k-4=0[/tex3]

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[tex3]k^{2}-3k-4=0[/tex3]

. Desta equação, obtemos os valores [tex3]k=-1[/tex3]

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[tex3]k=-1[/tex3]

ou [tex3]k=4[/tex3]

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[tex3]k=4[/tex3]

.

Igualando a segunda determinante a zero, vemos que [tex3]k=-1[/tex3]

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[tex3]k=-1[/tex3]

.

Espero ter ajudado!