Os biólogos consideram que, ao chegar a 100 indivíduos, a extinção de uma espécie animal é inevitável. A população de determinada espécie animal, ameaçada de extinção, diminui segundo a função f(t) = K . at, na qual K e a são números reais e f(t) indica o número de indivíduos dessa espécie no instante t(em anos). Atualmente (instante t = 0), existem 1500 indivíduos da espécie e estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que os biólogos consideram como irreversível para a extinção? Para os cálculos, utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela abaixo:
n - log n
2 - 0,30
3- 0,47
7 - 0,85
10 - 1
Gabarito: ~ 39 anos
Pré-Vestibular ⇒ (FGV) Equação Logarítmica
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Marcos
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Fev 2017
27
21:41
Re: (FGV) Equação Logarítmica
Olá ismaelmat.Observe a solução:
[tex3]f_{(t)} = K . a^{t}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Vamos descobrir o [tex3]K[/tex3] , porque quando [tex3]t=0[/tex3] a função [tex3]f(0) = 1500[/tex3] .
[tex3](i) \ f_{(0)}=1500 \rightarrow K . a^{0}=1500 \rightarrow \boxed{K=1500}[/tex3]
Agora vamos encontrar o valor de [tex3]a[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Quando passa [tex3]10[/tex3] anos, a função vale [tex3]f(10)=750[/tex3] .
[tex3](ii) \ f_{(10)}=750 \rightarrow K . a^{10}=750 \rightarrow 1500.a^{10}=750 \rightarrow \boxed{a=2^{-\frac{1}{10}}}[/tex3]
Queremos encontrar [tex3]t[/tex3] quando [tex3]f_{(t)}=100[/tex3] .
[tex3]1500.2^{-\frac{t}{10}}=100 \rightarrow \frac{1}{15}=2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow 15^{-1}=2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow log15^{-1}= log2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow[/tex3]
[tex3]\rightarrow \frac{-t}{10}.log2=(-1).log15 \rightarrow \frac{t}{10}.0,30=log\left(\frac{3.10}{2}\right) \rightarrow \boxed{\boxed{t=39 \ anos}}[/tex3]
Resposta: [tex3]39 \ anos[/tex3] .
[tex3]f_{(t)} = K . a^{t}[/tex3]
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Vamos descobrir o [tex3]K[/tex3] , porque quando [tex3]t=0[/tex3] a função [tex3]f(0) = 1500[/tex3] .
[tex3](i) \ f_{(0)}=1500 \rightarrow K . a^{0}=1500 \rightarrow \boxed{K=1500}[/tex3]
Agora vamos encontrar o valor de [tex3]a[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Quando passa [tex3]10[/tex3] anos, a função vale [tex3]f(10)=750[/tex3] .
[tex3](ii) \ f_{(10)}=750 \rightarrow K . a^{10}=750 \rightarrow 1500.a^{10}=750 \rightarrow \boxed{a=2^{-\frac{1}{10}}}[/tex3]
Queremos encontrar [tex3]t[/tex3] quando [tex3]f_{(t)}=100[/tex3] .
[tex3]1500.2^{-\frac{t}{10}}=100 \rightarrow \frac{1}{15}=2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow 15^{-1}=2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow log15^{-1}= log2^{-\frac{t}{10}} \rightarrow[/tex3]
[tex3]\rightarrow \frac{-t}{10}.log2=(-1).log15 \rightarrow \frac{t}{10}.0,30=log\left(\frac{3.10}{2}\right) \rightarrow \boxed{\boxed{t=39 \ anos}}[/tex3]
Resposta: [tex3]39 \ anos[/tex3] .
Editado pela última vez por Marcos em 27 Fev 2017, 21:41, em um total de 2 vezes.
''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
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