Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido

[Gabriel20]

Utilizando conceitos de limite trigonométrico, calcule o limite a seguir:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen\ x-x}{x^3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{sen\ x-x}{x^3}[/tex3]

Sem gabarito.

[314159265]

Amigo, ignore minha resposta anterior. Mesmo senx se aproximando de zero, ainda estaremls diante de uma indeterminação 0/0. Desculpe pelo erro.

[Rafa2604]

Só consegui resolver o problema utilizando a regra de L'Hôpital, se não for possível fazer dessa forma, pelo menos conseguimos ter o gabarito. (:


[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \frac{\sen \ 0 - 0 }{0^3} = \frac{0}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \frac{\sen \ 0 - 0 }{0^3} = \frac{0}{0}[/tex3]

Como temos uma indeterminação do tipo 0/0, então aplicamos a regra de L'Hôpital, ou seja, derivamos o numerador e o denominador.

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \frac{\cos \ 0 -1}{3\cdot 0^2} = \frac{0}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \frac{\cos \ 0 -1}{3\cdot 0^2} = \frac{0}{0}[/tex3]

Aplicando novamente, temos:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \sen \ x}{6x} = \frac{-\sen \ 0}{6\cdot 0} = \frac{0}{0}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \sen \ x}{6x} = \frac{-\sen \ 0}{6\cdot 0} = \frac{0}{0}[/tex3]

Aplicando a regra novamente, temos:

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \sen \ x}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \cos \ x}{6} = \frac{-\cos \ 0}{6} = -\frac{1}{6}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\cos\ x-1}{3x^2} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \sen \ x}{6x} = \lim_{x \rightarrow 0}\frac{- \cos \ x}{6} = \frac{-\cos \ 0}{6} = -\frac{1}{6}[/tex3]

Portanto, temos que:
[tex3]\boxed{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = -\frac{1}{6} }[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\boxed{ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x-x}{x^3} = -\frac{1}{6} }[/tex3]

Eu tentei resolver por limites/propriedades trigonométricas, mas não consegui.
Não esqueça que: [tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x}{x} = 1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sen\ x}{x} = 1[/tex3]

Espero que ajude.
Abraços.