a) Quantas ráizes reais a equação admite para m = 1?
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?
Resposta
duas
Resposta
m [tex3]\leq 4[/tex3] ou m [tex3]\geq 16[/tex3]
Pré-Vestibular ⇒ (PUC-RJ) Função Quadrática Tópico resolvido
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paulojorge
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Fev 2017
14
12:09
(PUC-RJ) Função Quadrática
Considere a equação [tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx[/tex3]
a) Quantas ráizes reais a equação admite para m = 1?
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?
duas
m [tex3]\leq 4[/tex3] ou m [tex3]\geq 16[/tex3]
a) Quantas ráizes reais a equação admite para m = 1?
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?
duas
m [tex3]\leq 4[/tex3] ou m [tex3]\geq 16[/tex3]
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PedroCunha
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Fev 2017
14
12:49
Re: (PUC-RJ) Função Quadrática
Boa tarde.
a:
[tex3]\frac{8x-1}{x+1} = x \therefore 8x-1 = x^2+x \therefore x^2 - 7x+1 = 0[/tex3]
Encontrando o discriminante da equação:
[tex3]\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 45 > 0[/tex3]
Logo, a equação admite duas raízes reais para [tex3]m = 1[/tex3] .
b:
Temos:
[tex3]\frac{8x-1}{x-1} = mx \therefore 8x-1 = mx^2 - mx \therefore mx^2 -(m+8)x + 1 = 0[/tex3]
O discriminante deve ser maior ou igual à zero:
[tex3][-(m+8)]^2 - 4 \cdot m \cdot 1 \geq 0 \therefore m^2 - 16m + 64 - 4m \geq 0 \therefore m^2 - 20m + 64 \geq 0[/tex3]
Note que: [tex3]m^2-20m+64 = (m-16) \cdot (m-4)[/tex3] , portanto a solução da inequação é:
[tex3]m \leq 4 \text{ ou } m \geq 16[/tex3] .
É isso.
Abraço,
Pedro.
a:
[tex3]\frac{8x-1}{x+1} = x \therefore 8x-1 = x^2+x \therefore x^2 - 7x+1 = 0[/tex3]
Encontrando o discriminante da equação:
[tex3]\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 45 > 0[/tex3]
Logo, a equação admite duas raízes reais para [tex3]m = 1[/tex3] .
b:
Temos:
[tex3]\frac{8x-1}{x-1} = mx \therefore 8x-1 = mx^2 - mx \therefore mx^2 -(m+8)x + 1 = 0[/tex3]
O discriminante deve ser maior ou igual à zero:
[tex3][-(m+8)]^2 - 4 \cdot m \cdot 1 \geq 0 \therefore m^2 - 16m + 64 - 4m \geq 0 \therefore m^2 - 20m + 64 \geq 0[/tex3]
Note que: [tex3]m^2-20m+64 = (m-16) \cdot (m-4)[/tex3] , portanto a solução da inequação é:
[tex3]m \leq 4 \text{ ou } m \geq 16[/tex3] .
É isso.
Abraço,
Pedro.
Editado pela última vez por PedroCunha em 14 Fev 2017, 12:49, em um total de 1 vez.
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Fev 2017
14
12:52
Re: (PUC-RJ) Função Quadrática
Considere a equação [tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx[/tex3]
a) Quantas raízes reais a equação admite para m = 1?
Se m = 1, temos:
[tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx \;\; \rightarrow \;\; \frac{8x-1}{x+1}=x \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = x(x+1) \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = x^2 +x \;\;\rightarrow \;\; x^2 - 7x + 1 = 0 \\\\ \; x = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} \;\; \rightarrow \;\;\; x_1 = \frac{7-\sqrt{45}}{2} \;\;\;,\;\;\; x_2 = \frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex3] .
Duas raízes reais.
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?
[tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = mx(x+1) \;\;\rightarrow \;\; 8x-1 = mx^2 + mx \;\; \rightarrow \;\; mx^2 + mx - 8x +1 = 0 \;\; \\\\ \rightarrow \;\; mx^2 + (m-8)x + 1 = 0[/tex3]
Para termos pelo menos uma raiz real, temos que: [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] .
[tex3]\Delta \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; b^2-4ac \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; (m-8)^2-4m \geq 0 \;\;\rightarrow \;\; m^2-16m+64 -4m \geq 0 \\\\ \rightarrow \;\; m^2 -20m + 64 \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; (m-4)(m-16)\geq 0[/tex3]
Portanto, temos que: [tex3](m-4)(m-16)\geq 0[/tex3]
Como queremos que o produto seja positivo, então as duas parcelas devem ser negativas ou as duas parcelas devem ser positivas.
Ou seja, temos que:
[tex3](m-4) \geq 0 \;\; \text{e} \;\; (m-16) \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; m \geq 4 \;\; \text{e} \;\; m\geq 16 \;\; \rightarrow \;\; m\geq 16[/tex3]
[tex3](m-4) \leq 0 \;\; \text{e} \;\; (m-16) \leq 0 \;\; \rightarrow \;\; m \leq 4 \;\; \text{e} \;\; m\leq 16 \;\; \rightarrow \;\; m\leq 4[/tex3]
Logo, temos que:
[tex3]m\leq 4 \;\; \text{ou} \;\; m\geq 16[/tex3]
a) Quantas raízes reais a equação admite para m = 1?
Se m = 1, temos:
[tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx \;\; \rightarrow \;\; \frac{8x-1}{x+1}=x \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = x(x+1) \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = x^2 +x \;\;\rightarrow \;\; x^2 - 7x + 1 = 0 \\\\ \; x = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} \;\; \rightarrow \;\;\; x_1 = \frac{7-\sqrt{45}}{2} \;\;\;,\;\;\; x_2 = \frac{7+\sqrt{45}}{2}[/tex3] .
Duas raízes reais.
b) Para quais valores reais de m a equação admite pelo menos uma raiz real?
[tex3]\frac{8x-1}{x+1}=mx \;\; \rightarrow \;\; 8x-1 = mx(x+1) \;\;\rightarrow \;\; 8x-1 = mx^2 + mx \;\; \rightarrow \;\; mx^2 + mx - 8x +1 = 0 \;\; \\\\ \rightarrow \;\; mx^2 + (m-8)x + 1 = 0[/tex3]
Para termos pelo menos uma raiz real, temos que: [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] .
[tex3]\Delta \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; b^2-4ac \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; (m-8)^2-4m \geq 0 \;\;\rightarrow \;\; m^2-16m+64 -4m \geq 0 \\\\ \rightarrow \;\; m^2 -20m + 64 \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; (m-4)(m-16)\geq 0[/tex3]
Portanto, temos que: [tex3](m-4)(m-16)\geq 0[/tex3]
Como queremos que o produto seja positivo, então as duas parcelas devem ser negativas ou as duas parcelas devem ser positivas.
Ou seja, temos que:
[tex3](m-4) \geq 0 \;\; \text{e} \;\; (m-16) \geq 0 \;\; \rightarrow \;\; m \geq 4 \;\; \text{e} \;\; m\geq 16 \;\; \rightarrow \;\; m\geq 16[/tex3]
[tex3](m-4) \leq 0 \;\; \text{e} \;\; (m-16) \leq 0 \;\; \rightarrow \;\; m \leq 4 \;\; \text{e} \;\; m\leq 16 \;\; \rightarrow \;\; m\leq 4[/tex3]
Logo, temos que:
[tex3]m\leq 4 \;\; \text{ou} \;\; m\geq 16[/tex3]
Editado pela última vez por Rafa2604 em 14 Fev 2017, 12:52, em um total de 1 vez.
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Auto Excluído (ID:17092)
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Fev 2017
14
13:03
Re: (PUC-RJ) Função Quadrática
Segue a solução:
Para o item a):
[tex3]8x - 1 = x(x+1) \rightarrow 8x - 1 = x^2 + x \rightarrow x^2 - 7x + 1 = 0[/tex3]
Basta verificar o valor de delta, se o delta for maior que zero teremos duas raízes reais.
Para o item b):
[tex3]8x - 1 = mx(x+1) \rightarrow 8x - 1 = mx^2 + mx \rightarrow mx^2 + (m-8)x + 1 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (m-8)^2 - 4\cdot m\cdot 1 \rightarrow \Delta = m^2 -16m + 64 -4m \rightarrow \Delta = m^2 -20m + 64[/tex3]
Para admitir, pelo menos, uma raiz real devemos ter [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] .
Daí:
[tex3]m^2 -20m + 64 \geq 0 \rightarrow (m-16)\cdot (m-4) \geq 0[/tex3]
Do quadro de sinais:
V = {[tex3]m\in \mathbb{R}| m\leq4 \vee m\geq 16[/tex3] }
Para o item a):
[tex3]8x - 1 = x(x+1) \rightarrow 8x - 1 = x^2 + x \rightarrow x^2 - 7x + 1 = 0[/tex3]
Basta verificar o valor de delta, se o delta for maior que zero teremos duas raízes reais.
Para o item b):
[tex3]8x - 1 = mx(x+1) \rightarrow 8x - 1 = mx^2 + mx \rightarrow mx^2 + (m-8)x + 1 = 0[/tex3]
[tex3]\Delta = b^2 - 4ac \rightarrow \Delta = (m-8)^2 - 4\cdot m\cdot 1 \rightarrow \Delta = m^2 -16m + 64 -4m \rightarrow \Delta = m^2 -20m + 64[/tex3]
Para admitir, pelo menos, uma raiz real devemos ter [tex3]\Delta \geq 0[/tex3] .
Daí:
[tex3]m^2 -20m + 64 \geq 0 \rightarrow (m-16)\cdot (m-4) \geq 0[/tex3]
Do quadro de sinais:
V = {[tex3]m\in \mathbb{R}| m\leq4 \vee m\geq 16[/tex3] }
Editado pela última vez por Auto Excluído (ID:17092) em 14 Fev 2017, 13:03, em um total de 1 vez.
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paulojorge
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Fev 2017
14
23:59
Re: (PUC-RJ) Função Quadrática
Poxa, essa foi a questão mais explicada que já responderam! valeu galera (:
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