IME / ITA ⇒ Equação Trigonométrica-ITA

[MORANGA]

A soma das raízes da equação :

sen (2x-30°).cosx= senx.cos(30º) Intervalo [0,2pi].

Resposta; 16pi/3

[LPavaNNN]

[tex3]\sen(2x-30)\cdot \cos x=\sen x\cdot \cos 30\\
(\sen 2x\cdot \cos 30-\sen 30\cdot \cos 2x)\cos x=\sen x\cdot \cos 30\\
\text{trocando a variável para t=tanx}\\
\left(\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1}{2}\right)\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \sen x\\
\frac{2\sqrt3t-1+t^2}{1+t^2}=\sqrt3t\\
t^2+2\sqrt3t-1=\sqrt3t+\sqrt3t^3\\
\sqrt3t^3-t^2-\sqrt3t+1=0\\
\text{da pra notar que t=1 e t=-1 são soluções:}\\
\sqrt3t^3-t^2-\sqrt3t+1=(t-1)(t+1)(\sqrt3t-1)=0\\
t=1,-1,\frac{\sqrt3}{3}\\
x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\\
S=4\pi+\frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}\\
S=\frac{16\pi}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sen(2x-30)\cdot \cos x=\sen x\cdot \cos 30\\
(\sen 2x\cdot \cos 30-\sen 30\cdot \cos 2x)\cos x=\sen x\cdot \cos 30\\
\text{trocando a variável para t=tanx}\\
\left(\frac{2t}{1+t^2}\cdot \frac{\sqrt3}{2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot \frac{1}{2}\right)\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \sen x\\
\frac{2\sqrt3t-1+t^2}{1+t^2}=\sqrt3t\\
t^2+2\sqrt3t-1=\sqrt3t+\sqrt3t^3\\
\sqrt3t^3-t^2-\sqrt3t+1=0\\
\text{da pra notar que t=1 e t=-1 são soluções:}\\
\sqrt3t^3-t^2-\sqrt3t+1=(t-1)(t+1)(\sqrt3t-1)=0\\
t=1,-1,\frac{\sqrt3}{3}\\
x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4},\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}\\
S=4\pi+\frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}=\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}+\frac{7\pi}{6}\\
S=\frac{16\pi}{3}[/tex3]