Olimpíadas ⇒ (Putnam) Sequências Tópico resolvido

[Gu178]

Calcule [tex3]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}[/tex3]

.

Resposta

---

2

[miguel747]

Tenta usar frações parciais:

Dica:

[tex3]\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}=\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}=\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}[/tex3]

[Tassandro]

Gu178,
Vou usar a dica do miguel747
Fazendo
[tex3]\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}=\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}=u_k-u_{k+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{6^k}{(3^k-2^k)(3^{k+1}-2^{k+1})}=\frac{2^k}{3^k-2^k}-\frac{2^{k+1}}{3^{k+1}-2^{k+1}}=u_k-u_{k+1}[/tex3]

Assim, a soma do enunciado se torna
[tex3]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}-u_{k+1}=\lim_{n\to\infty}(u_1-u_n)=\lim_{n\to\infty}\bigg(2-\frac{\(\frac23\)^n}{1-\(\frac23\)^n}\bigg)=2[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n-1}u_{k}-u_{k+1}=\lim_{n\to\infty}(u_1-u_n)=\lim_{n\to\infty}\bigg(2-\frac{\(\frac23\)^n}{1-\(\frac23\)^n}\bigg)=2[/tex3]