Física II ⇒ Dilatação

[juniorcesar]

Três Barras de mesmo comprimento são agrupadas formando um triângulo equilátero. Duas das barras são feitas do mesmo material, cujo coeficiente de dilatação linear A1 e a terceira barra, que é a base do triângulo, tem coeficiente de dilatação linear A2. A altura do triângulo terá o mesmo comprimento, qualquer que seja a temperatura, se A1/A2 for mais próximo de:
Resposta: 1/4

[jedi]

sendo a medida dos lados x e y

a altura será

[tex3]h=\sqrt{x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

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[tex3]h=\sqrt{x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

então após a variação de temperatura os comprimentos terão

[tex3]x+A_1.x[/tex3]

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[tex3]x+A_1.x[/tex3]

[tex3]y+A_2.y[/tex3]

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[tex3]y+A_2.y[/tex3]

[tex3]h=\sqrt{(x+A_1.x)^2+\left(\frac{y}{2}-A_2.\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

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[tex3]h=\sqrt{(x+A_1.x)^2+\left(\frac{y}{2}-A_2.\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

[tex3]\sqrt{x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2}=\sqrt{(x+A_1.x)^2-\left(\frac{y}{2}+A_2.\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2}=\sqrt{(x+A_1.x)^2-\left(\frac{y}{2}+A_2.\frac{y}{2}\right)^2}[/tex3]

[tex3]x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2=(x+A_1.x)^2-\left(\frac{y}{2}+A_2.\frac{y}{2}\right)^2[/tex3]

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[tex3]x^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2=(x+A_1.x)^2-\left(\frac{y}{2}+A_2.\frac{y}{2}\right)^2[/tex3]

[tex3]0=2.A_1.x^2+A_1^2.x^2-\frac{A_2.y^2}{2}-A_2^2.\frac{y^2}{4}[/tex3]

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[tex3]0=2.A_1.x^2+A_1^2.x^2-\frac{A_2.y^2}{2}-A_2^2.\frac{y^2}{4}[/tex3]

[tex3]0=2.A_1+A_1^2-\frac{A_2.y^2}{2x^2}-A_2^2.\frac{y^2}{4x^2}[/tex3]

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[tex3]0=2.A_1+A_1^2-\frac{A_2.y^2}{2x^2}-A_2^2.\frac{y^2}{4x^2}[/tex3]

como o triangulo é equilatero então y/x=1

[tex3]2.A_1+A_1^2-\frac{A_2}{2}-\frac{A_2^2}{4}=0[/tex3]

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[tex3]2.A_1+A_1^2-\frac{A_2}{2}-\frac{A_2^2}{4}=0[/tex3]

[tex3]2.A_1+A_1^2=\frac{A_2}{2}+\frac{A_2^2}{4}[/tex3]

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[tex3]2.A_1+A_1^2=\frac{A_2}{2}+\frac{A_2^2}{4}[/tex3]

[tex3]\frac{A_1}{A_2}.\frac{2+A_1}{2+A_2}=\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{A_1}{A_2}.\frac{2+A_1}{2+A_2}=\frac{1}{4}[/tex3]

levando em consideração que A1 e A2 são geralmente valores pequenos então

[tex3]\frac{2+A_1}{2+A_2}\approx1[/tex3]

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[tex3]\frac{2+A_1}{2+A_2}\approx1[/tex3]

então

[tex3]\frac{A_1}{A_2}\approx\frac{1}{4}[/tex3]

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[tex3]\frac{A_1}{A_2}\approx\frac{1}{4}[/tex3]