Ensino Superior ⇒ Equações Diofantinas Tópico resolvido

[cicero444]

100 sacas de grãos são distribuídas entre 100 pessoas de modo que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 sacas, e cada criança [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

saca. Quantos homens, mulheres e crianças há?

[Ivo213]

100 sacas de grãos são distribuídas entre 100 pessoas de modo que cada homem recebe 3 sacas, cada mulher 2 sacas, e cada criança [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]

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saca. Quantos homens, mulheres e crianças há?

Bom dia, cicero444.

x = quantidade de homens
y = quantidade de mulheres
z = quantidade de crianças

x + y + z = 100 ............ (I)
3x + 2y + z/2 = 100 ..... (II)

De (I), deduzimos:
z = 100 - x - y

Valor que aplicamos em (II):
3x + 2y + (100-x-y)/2 = 100
6x + 4y + 100 - x - y = 200
5x + 3y = 200 - 100

5x + 3y = 100 .... Equação Diofantina.

3y = 100 - 5x
y = (100 - 5x)/3 = 99/3+ 1/3 - 3x/3 - 2x/3 = 33 - x + (1-2x)/3

Como x e y devem ser inteiros, também o quociente da equação final deverá sê-lo.
Faremos, então, igual a m a fração final:
(1-2x)/3 = m
1 - 2x = 3m
2x = 3m + 1
x = (3m+1)/2 = 2m/2 + m/2 + 1/2 = m + (m+1)/2

Seguindo a mesma rotina anterior, faremos igual a n a fração final supra:
(m+1)/2 = n
m + 1 = 2n
m = 2n - 1

A partir daqui, retornamos às incógnitas x e y:
x = (3m+1)/2 = [3(2n-1) + 1]/2 = (6n - 3 + 1)/2 = (6n-2)/2
x = 3n - 1

y = (100-5x)/3 = [100 - 5(3n-1)]/3 = (100 - 15m + 5)/3 = (105 - 15n)/3
y = 35 - 5n

Mas x e y, além de inteiros,, deverão também ser positivos; portanto:
x=3n-1 → 3n-1> 0 → 3n > 1 → n > 1/3 → n ≥ 1
y=35-5n → 35-5n > 0 → 35 > 5n → 5n < 35 → n < 35/5 → n < 7

Assim, a intersecção dos valores possíveis de n é:
n = 1, 2, 3, 4, 5 e 6

Faremos agora uma tabela:
n ___ x=3n-1 ___ y=35-5n ___z=100-x-y
------------------------------------------------
1 _____ 2 _________ 30 _______ 68
2 _____ 5 _________ 25 _______ 70
3 _____ 8 _________ 20 _______ 72
4 ____ 11 _________ 15 _______ 74
5 ____ 14 _________ 10 _______ 76
6 ____ 17 __________ 5 _______ 78

Soluções possíveis:
S1 = _2 homens, 30 mulheres e 68 crianças
S2 = _5 homens, 25 mulheres e 70 crianças
S3 = _8 homens, 20 mulheres e 72 crianças
S4 = 11 homens, 15 mulheres e 74 crianças
S5 = 14 homens, 10 mulheres e 76 crianças
S6 = 17 homens, _5 mulheres e 78 crianças


Tenha um abençoado ano novo!