Justapondo-se os números naturais,conforme a representação abaixo, em que o sinal * indica o último algarismo,forma-se um número de 1002 algarismos.
123456789101112131415161718192021...*
O resto da divisão do número formado por 16 é igual a
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2003) Aritmética Tópico resolvido
- Marcos
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Dez 2016
15
21:25
Re: Colégio naval
Olá Caliraut.Observe a solução:
Para o primeiro passo, temos a descrição do número como sendo obtido, em notação decimal, pela justaposição dos algarismos dos primeiros números naturais.
[tex3]\leadsto[/tex3] De [tex3]1\ ao \ 9[/tex3] , temos [tex3]9[/tex3] números de [tex3]1[/tex3] algarismo, totalizando [tex3]9[/tex3] algarismos.
[tex3]\leadsto[/tex3] De [tex3]10 \ ao \ 99[/tex3] , são [tex3]90[/tex3] números de [tex3]2[/tex3] algarismos, totalizando [tex3]180[/tex3] algarismos.
Para isso notamos que o número [tex3]1234567891011...979899[/tex3] possui [tex3]9+180=189[/tex3] algarismos.
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Forma-se um número de [tex3]1002[/tex3] algarismos.
[tex3]\leadsto[/tex3] Para [tex3]1002[/tex3] faltam ainda [tex3]1002-189=813[/tex3] algarismos (que deverão ser completados com os números de [tex3]3[/tex3] algarismos).
[tex3]\leadsto[/tex3] Dividindo [tex3]\frac{813}{3}=271[/tex3] números de [tex3]3[/tex3] algarismos.Como o primeiro número de [tex3]3[/tex3] algarismos é [tex3]100[/tex3] , teremos [tex3]271[/tex3] números naturais consecutivos indo até [tex3]370[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O sinal [tex3]*[/tex3] indica o último algarismo
Então, a representação supracitada (de [tex3]1002[/tex3] algarismos) é [tex3]12345678910 \ ...... \ 368369370[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O resto da divisão do número formado por [tex3]16[/tex3] é igual a
Um número natural é divisível por [tex3]16[/tex3] se o número formado pelos [tex3]4[/tex3] últimos algarismos for divisível por [tex3]16[/tex3] .Portanto, para obter o resto da divisão por [tex3]16[/tex3] , não precisamos nos preocupar com os [tex3]1002[/tex3] algarismos, mas apenas com os últimos [tex3]4[/tex3] .Nosso problema termina então com a divisão [tex3]9370 = 585\times 16 + 10[/tex3] , e portanto a resposta do problema é [tex3]\boxed{\boxed{10}} \Longrightarrow Letra:(E)[/tex3] .
Resposta: [tex3]E[/tex3] .
Para o primeiro passo, temos a descrição do número como sendo obtido, em notação decimal, pela justaposição dos algarismos dos primeiros números naturais.
[tex3]\leadsto[/tex3] De [tex3]1\ ao \ 9[/tex3] , temos [tex3]9[/tex3] números de [tex3]1[/tex3] algarismo, totalizando [tex3]9[/tex3] algarismos.
[tex3]\leadsto[/tex3] De [tex3]10 \ ao \ 99[/tex3] , são [tex3]90[/tex3] números de [tex3]2[/tex3] algarismos, totalizando [tex3]180[/tex3] algarismos.
Para isso notamos que o número [tex3]1234567891011...979899[/tex3] possui [tex3]9+180=189[/tex3] algarismos.
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Forma-se um número de [tex3]1002[/tex3] algarismos.
[tex3]\leadsto[/tex3] Para [tex3]1002[/tex3] faltam ainda [tex3]1002-189=813[/tex3] algarismos (que deverão ser completados com os números de [tex3]3[/tex3] algarismos).
[tex3]\leadsto[/tex3] Dividindo [tex3]\frac{813}{3}=271[/tex3] números de [tex3]3[/tex3] algarismos.Como o primeiro número de [tex3]3[/tex3] algarismos é [tex3]100[/tex3] , teremos [tex3]271[/tex3] números naturais consecutivos indo até [tex3]370[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O sinal [tex3]*[/tex3] indica o último algarismo
Então, a representação supracitada (de [tex3]1002[/tex3] algarismos) é [tex3]12345678910 \ ...... \ 368369370[/tex3] .
[tex3]\blacktriangleright[/tex3] O resto da divisão do número formado por [tex3]16[/tex3] é igual a
Um número natural é divisível por [tex3]16[/tex3] se o número formado pelos [tex3]4[/tex3] últimos algarismos for divisível por [tex3]16[/tex3] .Portanto, para obter o resto da divisão por [tex3]16[/tex3] , não precisamos nos preocupar com os [tex3]1002[/tex3] algarismos, mas apenas com os últimos [tex3]4[/tex3] .Nosso problema termina então com a divisão [tex3]9370 = 585\times 16 + 10[/tex3] , e portanto a resposta do problema é [tex3]\boxed{\boxed{10}} \Longrightarrow Letra:(E)[/tex3] .
Resposta: [tex3]E[/tex3] .
Editado pela última vez por caju em 28 Jan 2020, 11:00, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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''Nunca cruze os braços diante dos obstáculos, pois lembre-se que o maior dos Homens morreu de braços abertos.''
- manerinhu
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Dez 2016
17
03:36
Re: (Colégio Naval - 2003) Artmética
Como provar?Marcos escreveu: Um número natural é divisível por [tex3]16[/tex3]se o número formado pelos [tex3]4[/tex3] últimos algarismos for divisível por [tex3]16[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 28 Jan 2020, 11:00, em um total de 3 vezes.
Razão: tex --> tex3
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- Caliraut
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Dez 2016
20
11:14
Re: (Colégio Naval - 2003) Artmética
Manerinhu, isso é um critério de divisibilidade, veja a seguir alguns dos múltiplos de 16 com 5 algarismos: { 16016 ( terminação 6016= 12. 376) , 16032(terminação 6032= 377.12),16048 ( terminação 6048=378.12),... } Percebe-se que essa propriedade enquadra-se em todos os casos, então é verídico afirmar que um número de 5 ou mais algarismos é divisível por 16, quando sua terminação formada por 4 algarismos também for divisível por 16.manerinhu escreveu:Como provar?Marcos escreveu: Um número natural é divisível por [tex3]16[/tex3]se o número formado pelos [tex3]4[/tex3] últimos algarismos for divisível por [tex3]16[/tex3]
Editado pela última vez por caju em 28 Jan 2020, 11:00, em um total de 2 vezes.
Razão: tex --> tex3
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