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Alguém pode me explicar detalhadamente??
Pré-Vestibular ⇒ (UFMG)- Volume e altura da pirâmide
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Nov 2016
26
10:06
(UFMG)- Volume e altura da pirâmide
Corta-se uma pirâmide regular de base quadrangular e altura 4 cm por um plano paralelo ao plano da base, de maneira que os volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. A altura do tronco de pirâmide obtido é, em centímetros,
Resposta: letra b)
Alguém pode me explicar detalhadamente??
Alguém pode me explicar detalhadamente??
Última edição: Liliana (Sáb 26 Nov, 2016 10:06). Total de 1 vez.
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pietrotavares 
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Nov 2016
26
13:42
Re: (UFMG)- Volume e altura da pirâmide
Olá,
Veja que ao seccionar a pirâmide grande surge uma outra pirâmide pequena semelhante. Vamos resolver o exercício utilizando a razão de semelhança entre as duas.
Sejam:
[tex3]V_1[/tex3] e [tex3]H_1[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide grande, respectivamente.
[tex3]V_2[/tex3] e [tex3]H_2[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide pequena, respectivamente.
1) Razão de semelhança
[tex3]\begin{cases}
k = \frac{H_1}{H_2} \\
k^3 = \frac{V_1}{V_2}
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = \frac{V_1}{V_2}[/tex3]
2) Volumes
Observe que o volume do tronco é igual ao da pirâmide maior menos o da pirâmide menor.
[tex3]V_T = V_1 - V_2[/tex3]
Nós queremos que o volume desse tronco seja igual a [tex3]V_2[/tex3] , logo:
[tex3]V_1 - V_2 = V_2[/tex3]
[tex3]V_1 = 2 V_2[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]
3) Colocando em função das alturas
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]
[tex3]k^3 = 2[/tex3]
[tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = 2[/tex3]
Do enunciado: [tex3]H_1 = 4[/tex3] .
[tex3]\frac{4^3}{H_2^3} = 2[/tex3]
[tex3]H_2^3 = {32}[/tex3]
[tex3]H_2 = \sqrt[3]{32}[/tex3]
[tex3]H_2 = 2 \sqrt[3]{4}[/tex3]
4) Por fim, a altura que queremos
Queremos: [tex3]H_1 - H_2[/tex3]
[tex3]\boxed{4 - 2 \sqrt[3]{4}}[/tex3]
Espero que tenha ficado claro.
Veja que ao seccionar a pirâmide grande surge uma outra pirâmide pequena semelhante. Vamos resolver o exercício utilizando a razão de semelhança entre as duas.
Sejam:
[tex3]V_1[/tex3] e [tex3]H_1[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide grande, respectivamente.
[tex3]V_2[/tex3] e [tex3]H_2[/tex3] a área da base e a altura da pirâmide pequena, respectivamente.
1) Razão de semelhança
[tex3]\begin{cases}
k = \frac{H_1}{H_2} \\
k^3 = \frac{V_1}{V_2}
\end{cases}[/tex3]
Logo, [tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = \frac{V_1}{V_2}[/tex3]
2) Volumes
Observe que o volume do tronco é igual ao da pirâmide maior menos o da pirâmide menor.
[tex3]V_T = V_1 - V_2[/tex3]
Nós queremos que o volume desse tronco seja igual a [tex3]V_2[/tex3] , logo:
[tex3]V_1 - V_2 = V_2[/tex3]
[tex3]V_1 = 2 V_2[/tex3]
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]
3) Colocando em função das alturas
[tex3]\frac{V_1}{V_2} = 2[/tex3]
[tex3]k^3 = 2[/tex3]
[tex3]\frac{H_1^3}{H_2^3} = 2[/tex3]
Do enunciado: [tex3]H_1 = 4[/tex3] .
[tex3]\frac{4^3}{H_2^3} = 2[/tex3]
[tex3]H_2^3 = {32}[/tex3]
[tex3]H_2 = \sqrt[3]{32}[/tex3]
[tex3]H_2 = 2 \sqrt[3]{4}[/tex3]
4) Por fim, a altura que queremos
Queremos: [tex3]H_1 - H_2[/tex3]
[tex3]\boxed{4 - 2 \sqrt[3]{4}}[/tex3]
Espero que tenha ficado claro.
Última edição: caju (Seg 11 Set, 2017 10:08). Total de 2 vezes.
Razão: TeX --> TeX3
Razão: TeX --> TeX3
"A vida não é mais que uma sombra errante/Um mau ator que se pavoneia e se aflige no seu momento sobre o palco/E então nada mais se ouve" (Macbeth, 5.5.24-26)
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