Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST) Geometria Analítica Tópico resolvido

[pietrotavares]

Encontrei somente soluções usando esboço de gráfico (não existe tempo para isso no vestibular), alguém propõe uma resolução mais "algébrica" ou imediata?

Qual a equação do lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano equidistantes da reta [tex2]y = 0[/tex2] e da circunferência cujo centro é [tex2]C(0, 2)[/tex2] e o raio é [tex2]1[/tex2] ?

Resposta

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[tex3]x^2 = 6y - 3[/tex3]

Obrigado.

[undefinied3]

Cara, dá pra você ter um insightzinho que até mata a questão, mas vai ter que ter na cabeça as definições algébricas das cônicas, no caso a parábola.
A parábola é definida como todos os pontos que equidistam de uma reta diretriz e de um ponto que é chamado foco da parábola. De fato nesse caso temos um conjunto de pontos equidistantes de uma reta (y=0) mas aparentemente não são equidistantes de um único ponto focal, mas aí entra uma sacadinha. Esses pontos estão equidistantes dos pontos de uma circunferência que, por sua vez, são equidistantes de um ponto que é o centro da circunferência. Assim a gente conclui que o lugar geométrico pedido é um conjunto de pontos equidistantes de uma reta e do centro da circunferência dado, caracterizando uma parábola.
Então temos que o foco é

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[tex3]C(0,2)[/tex3]

e a reta diretriz é

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[tex3]y=0[/tex3]

. Da equação geral:

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[tex3](x-h)^2=4p(y-k)[/tex3]

, sendo o vértice

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[tex3]V(h,k)[/tex3]

.
É tranquilo perceber que esse vértice será (0,1/2), pois é a distancia do ponto médio entre o ponto do foco subtraído de 1 na coordenada y, devido ao raio.

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[tex3](x-0)^2=4p(y-1/2)[/tex3]

Agora, do fato que as coordenadas do foco são (h,k+p) e tendo tanto o vértice quanto o foco, tiramos que:

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[tex3]2=1/2+p \rightarrow p=3/2[/tex3]

E então concluimos que:

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[tex3](x-0)^2=4.\frac{3}{2}(y-\frac{1}{2}) \rightarrow x^2=6y-3[/tex3]

[pietrotavares]

Ótima resolução, eu havia pensado em fazer o centro da circunferência como foco mas faltou mentalização para ver que daria certo.

Obrigado

[undefinied3]

Só um detalhe que eu acabei percebendo agora. A reta dada y=0 é uma "pseudo-diretriz". A partir do momento que ajustamos o lugar geométrico como os pontos que equidistam de y=0 e da circunferência para o lugar geométrico dos pontos que equidistam do centro da circunferência, a diretriz verdade também vai descer 1 uma unidade, assim como tivemos que considerar na hora de encontrar o vértice. A rigor, a reta diretriz dessa parábola na verdade será y=-1, pois essa coordenada será a coordenada y do vértice -p. No caso,

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[tex3]k-p=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=-1[/tex3]