Ensino Médio

Questão interessante (na minha humilde opinião).
Se $z,w$ são dois números complexos quaisquer tais que $|z| = |w| = 1$ e que $1+zw \neq 0$ , determine se o número $\frac{z+w}{1+zw}$ é real, imaginário ou imaginário puro.

pietrotavares

Lucas, como vai?

A questão é muito interessante mesmo, como você resolveu?
Não sei se já viu esta brilhante resolução feita pelo membro dLyceeLaReine:

dLyceeLaReine escreveu: $\frac{z+w}{1+zw}=k$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{z+w}{1+zw}=k[/tex3]

Tomando o conjugado de ambos lados:

$\frac{\bar{z}+\bar{w}}{1+\bar{zw}}=\bar{k}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{\bar{z}+\bar{w}}{1+\bar{zw}}=\bar{k}[/tex3]

$\frac{1/z+1/w}{1+1/(zw)}=\bar{k}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{1/z+1/w}{1+1/(zw)}=\bar{k}[/tex3]

Que é igual à

$\frac{z+w}{zw+1}=\bar{k}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\frac{z+w}{zw+1}=\bar{k}[/tex3]

Se $k=\bar{k}$

Código: Selecionar tudo

[tex3]k=\bar{k}[/tex3]

então ===>> $k$

Código: Selecionar tudo

[tex3]k[/tex3]

pertence aos $\Re$

Código: Selecionar tudo

[tex3]\Re[/tex3]

.

Abraço!

Boa solução mesmo

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