Ensino Médio ⇒ Polinômios Tópico resolvido

[pietrotavares]

A minha dúvida é sobre como determinar os dois coeficientes, pelo Teorema do Resto ou outro método "rápido", em casos como esse em que o divisor tem raízes de multiplicidade > 1

Determine [tex2]m[/tex2] e [tex2]n[/tex2] para que [tex2]mx^6 + 3nx^5 + 1[/tex2] seja divisível por [tex2](x-1)^2[/tex2]

Resposta

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[tex3]m = 5; n = -2[/tex3]

Obrigado.

[undefinied3]

Nessas de multiplicidade e polinômio é sempre interessante usar derivadas, não pelo o que significam mas pela consequência do resultado delas.
É possível provar que se

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[tex3]\alpha[/tex3]

é uma raiz de multiplicidade x de um polinômio, então será raiz até da (x-1)-ésima derivada. Por exemplo, no caso 1 é raiz dupla, então será raiz também da (2-1)=primeira derivada do polinômio. Assim fica tranquilo resolver pelo teorema do resto:
Deve ser raiz do polinômio:

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[tex3]P(1)=m+3n+1=0[/tex3]

Deve ser raiz da primeira derivada:

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[tex3]P'(x)=6mx^5+15nx^4[/tex3]

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[tex3]P' (1)= 6m+ 15n=0[/tex3]

Resolvendo o sistema, encontramos
m=5
n=-2
Será que não faltou um sinal de menos nesse gabarito?

[pietrotavares]

Magnífico, undefinied3.
Tinha faltado o menos, já corrigi.

Obrigado.