IME / ITA(ITA - 1996) Inequação Logaritmica Tópico resolvido

Aqui deverão ser postadas questões desses vestibulares e de outras instituições militares (EN, CN, EsPCEx etc.).

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petras
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(ITA - 1996) Inequação Logaritmica

Mensagem não lida por petras »

Se alguém puder ajudar nesta resolução, ficaria grato.

Seja a\in\mathbb{R}, a>1. Para que ]4,\,5[=\{x\in\mathbb{R}^*_+;\,\,\log_{\frac{1}{a}}\left(\log_a(x^2-15)\right)>0
Resposta

Resposta: (a = 10)

Última edição: petras (Sex 21 Out, 2016 23:30). Total de 3 vezes.



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pietrotavares
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Nov 2016 11 00:48

Re: (ITA - 1996) Inequação Logaritmica

Mensagem não lida por pietrotavares »

Olá petras,

Essa resolução aqui, na minha opinião, passou bem longe de ter ficado clara, mas quem sabe você consegue decifrar.
Francamente, não sei por que o pessoal do Anglo achou melhor poupar as explicações das passagens mais importantes..

http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... -anglo.pdf
Questão 11


Abraço.

Última edição: pietrotavares (Sex 11 Nov, 2016 00:48). Total de 1 vez.


"A vida não é mais que uma sombra errante/Um mau ator que se pavoneia e se aflige no seu momento sobre o palco/E então nada mais se ouve" (Macbeth, 5.5.24-26)

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LucasPinafi
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Nov 2016 11 12:08

Re: (ITA - 1996) Inequação Logaritmica

Mensagem não lida por LucasPinafi »

Minha solução. Temos que a>1 \Leftrightarrow  \frac 1 a < 1. Então, temos que\log_{ \frac 1 a} K > 0, onde temos que K = \log_a (x^2 - 15). Assim, devemos ter que \log_{\frac 1 a} K = - \log_a K >0 \Leftrightarrow \log_ a K < 0 \Leftrightarrow K< 1 \Leftrightarrow \log_a(x^2 -15) < 1\Leftrightarrow x^2 - 15 < a \Leftrightarrow x^2 < 15 + a \\.
Veja que, estamos interessados no intervalo ]4,5[. Para x = 4, temos que 16 < 15 + a, ou seja devemos ter a>1 - que já é a hipótese do enunciado. Se a = 5, temos que 25 <15 +a , ou seja a > 10. Assim, o menor valor de a é 10.
Última edição: LucasPinafi (Sex 11 Nov, 2016 12:08). Total de 1 vez.


Ser ̶m̶e̶l̶h̶o̶r̶ pior a cada dia

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petras
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Re: (ITA - 1996) Inequação Logaritmica

Mensagem não lida por petras »

Grato Lucas e Pietro, agradeço as explicações e indicações. A solução ficou clara para mim.




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