IME / ITA ⇒ (ITA) Equação Exponencial Tópico resolvido

[NãoCriativo]

Resolva, em reais, a equação [tex3]\sqrt[x]{\frac{2}{x+1}} = (x+1)^{x+2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\sqrt[x]{\frac{2}{x+1}} = (x+1)^{x+2}[/tex3]

R: [tex3]sqrt{2}-1[/tex3]

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[tex3]sqrt{2}-1[/tex3]

Essa equação me faz andar em círculos assim como uma mariposa que rodeia uma lâmpada

[Ittalo25]

Já de cara:

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[tex3]x\neq -1[/tex3]

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[tex3]\sqrt[x]{\frac{2}{x+1}} = (x+1)^{x+2}[/tex3]

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[tex3]{\frac{2}{x+1}} = (x+1)^{x^2+2x}[/tex3]

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[tex3]2 = (x+1)^{x^2+2x+1}[/tex3]

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[tex3]2 = (x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

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[tex3](\sqrt{2})^{2} = (x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

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[tex3](\sqrt{2})^{(\sqrt{2)}^2} = (x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

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[tex3]x = \sqrt{2}-1[/tex3]

[MatheusBorges]

Ittalo25, mesmo sendo bases diferentes pode fazer isso que você fez? Somente pela semelhança?

[Ittalo25]

Ittalo25, mesmo sendo bases diferentes pode fazer isso que você fez? Somente pela semelhança?

Nesse caso não vejo problema

[undefinied3]

A injetividade garante isso. Para [tex3]x\geq 0[/tex3]

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[tex3]x\geq 0[/tex3]

, a função [tex3](x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

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[tex3](x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

é injetora, de modo que segue a igualdade utilizada.

EDIT: Troquei [tex3]x^{x^2}[/tex3]

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[tex3]x^{x^2}[/tex3]

por [tex3](x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

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[tex3](x+1)^{(x+1)^2}[/tex3]

, de acordo com o que o sousóeu me alertou.

[Auto Excluído (ID:12031)]

a rigor a função não é injetora, pois:
[tex3]\ln y = x^2 \ln x[/tex3]

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[tex3]\ln y = x^2 \ln x[/tex3]

[tex3]y' = yx(2 \ln x + 1)[/tex3]

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[tex3]y' = yx(2 \ln x + 1)[/tex3]

logo quando [tex3]\ln x = -\frac 12[/tex3]

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[tex3]\ln x = -\frac 12[/tex3]

temos essa separação em intervalos em que ela é injetora
mas nesse caso [tex3]x = e^{-\frac 12} [/tex3]

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[tex3]x = e^{-\frac 12} [/tex3]

temos [tex3]y<<2 [/tex3]

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[tex3]y<<2 [/tex3]

e então tudo bem

[MatheusBorges]

Pelo jeito é bem mais complexo, de qualquer forma obrigado pela atenção.