Qual o período das funções reais ?
a) [tex3]f(x)=senx.cosx[/tex3]
b)[tex3]g(x)=\frac{1-tg^22x}{1+tg^22x}[/tex3]
,
c)[tex3]h(x)=cos^6x+sen^6x[/tex3]
Ensino Médio ⇒ Trigonometria-Período das Funções Reais
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futuromilitar
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Set 2016
15
17:16
Trigonometria-Período das Funções Reais
Editado pela última vez por futuromilitar em 15 Set 2016, 17:16, em um total de 1 vez.
''Se você perdeu dinheiro, perdeu pouco. Se perdeu a honra, perdeu muito. Se perdeu a coragem, perdeu tudo.'' (Van Gogh)
Ago 2023
23
14:45
Re: Trigonometria-Período das Funções Reais
a) Usando a Formula de Multiplicação [tex3]Sen 2x = 2 senx.cosx[/tex3]
em [tex3]F(x)=senx.cosx[/tex3]
temos:
[tex3]2(senx.cosx)=\frac12(sen2x)[/tex3] O motivo do [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é porque queremos senx.cosx e não 2senx.cosx. Calculando o Período, temos:
[tex3]P=\frac{2π}{|c|}[/tex3] [tex3]P=\frac{2π}2=π[/tex3]
b) Para resolver essa questão, iremos usar Relações fundamentais e Transformações.
[tex3]\frac{1-tg^22x}{1+tg^22x}=\frac{1-(\frac{sen2x}{cos2x})^2}{1+(\frac{sen2x}{cos2x})^2}=\frac{\frac{cos^22x-sen^22x}{cos^22x}}{\frac{cos^22x+sen^22x}{cos^22x}}=\frac{cos^22x-sen^22x}{cos^22x+sen^22x}[/tex3]
Usando agora Cosseno da Soma em [tex3]cos^22x-sen^22x[/tex3] temos:
[tex3]cos2x.cos2x-sen2x.sen2x=cos(2x+2x)=cos4x[/tex3]
Usando Cosseno da Diferença em [tex3]cos^22x+sen^22x[/tex3] temos:
[tex3]cos2x.cos2x+sen2x.sen2x=cos(2x-2x)=cos 0=1[/tex3]
Temos então: [tex3]\frac{cos4x}{cos0}=\frac{cos4x}{1}=cos4x[/tex3]
O período será: [tex3]P=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}[/tex3]
c)Para essa, usaremos produtos notáveis, relações fundamentais e transformações.
[tex3]cos^6x+sen^6x [/tex3] pode ser escrito da seguinte maneira usando produtos notáveis:
[tex3](cos^2x+sen^2x).(cos^4x-cos^2x.sen^2x+sen^4x)=1(cos^4x-cos^2x.sen^2x+sen^4x)=[/tex3]
[tex3]cos^2x(cos^2x-sen^2x)+sen^4x=cos^2x(cosx.cosx-senx.senx)+sen^4x=cos^2x.cos2x+sen^4x[/tex3]
Calculando o Período, temos:
[tex3]P=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}[/tex3]
[tex3]2(senx.cosx)=\frac12(sen2x)[/tex3] O motivo do [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] é porque queremos senx.cosx e não 2senx.cosx. Calculando o Período, temos:
[tex3]P=\frac{2π}{|c|}[/tex3] [tex3]P=\frac{2π}2=π[/tex3]
b) Para resolver essa questão, iremos usar Relações fundamentais e Transformações.
[tex3]\frac{1-tg^22x}{1+tg^22x}=\frac{1-(\frac{sen2x}{cos2x})^2}{1+(\frac{sen2x}{cos2x})^2}=\frac{\frac{cos^22x-sen^22x}{cos^22x}}{\frac{cos^22x+sen^22x}{cos^22x}}=\frac{cos^22x-sen^22x}{cos^22x+sen^22x}[/tex3]
Usando agora Cosseno da Soma em [tex3]cos^22x-sen^22x[/tex3] temos:
[tex3]cos2x.cos2x-sen2x.sen2x=cos(2x+2x)=cos4x[/tex3]
Usando Cosseno da Diferença em [tex3]cos^22x+sen^22x[/tex3] temos:
[tex3]cos2x.cos2x+sen2x.sen2x=cos(2x-2x)=cos 0=1[/tex3]
Temos então: [tex3]\frac{cos4x}{cos0}=\frac{cos4x}{1}=cos4x[/tex3]
O período será: [tex3]P=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}[/tex3]
c)Para essa, usaremos produtos notáveis, relações fundamentais e transformações.
[tex3]cos^6x+sen^6x [/tex3] pode ser escrito da seguinte maneira usando produtos notáveis:
[tex3](cos^2x+sen^2x).(cos^4x-cos^2x.sen^2x+sen^4x)=1(cos^4x-cos^2x.sen^2x+sen^4x)=[/tex3]
[tex3]cos^2x(cos^2x-sen^2x)+sen^4x=cos^2x(cosx.cosx-senx.senx)+sen^4x=cos^2x.cos2x+sen^4x[/tex3]
Calculando o Período, temos:
[tex3]P=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}[/tex3]
Editado pela última vez por maycônico em 23 Ago 2023, 15:39, em um total de 2 vezes.
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FelipeMartin
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Ago 2023
24
11:28
Re: Trigonometria-Período das Funções Reais
maycônico, faltou terminar a última:
[tex3]\cos^4(x) + \sen^4(x) - \sen^2(x) \cos^2(x) = (\cos^2(x) +\sen^2(x))^2 - 3 \sen(x)\cos(x) = 1 - 3\frac{\sen(2x)}2[/tex3]
que obviamente tem o mesmo período que [tex3]\sen(2x)[/tex3]
[tex3]\cos^4(x) + \sen^4(x) - \sen^2(x) \cos^2(x) = (\cos^2(x) +\sen^2(x))^2 - 3 \sen(x)\cos(x) = 1 - 3\frac{\sen(2x)}2[/tex3]
que obviamente tem o mesmo período que [tex3]\sen(2x)[/tex3]
φως εσύ και καρδιά μου εγώ πόσο σ' αγαπώ.
Fev 2024
05
11:53
Re: Trigonometria-Período das Funções Reais
maycônico não entendi na C como se deu a transformação de cos6x + sen6x para produto notável, poderia explicar?
-
petras
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Fev 2024
05
12:50
Re: Trigonometria-Período das Funções Reais
grzlrlph,
[tex3]cos^6x+sen^6x = (cos^2x)^3+(sen^2x)^3\\
a=cos^2x\\
b=sen^2x\\
a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab)
[/tex3]
Agora é só substituir "a" e "b".
[tex3]cos^6x+sen^6x = (cos^2x)^3+(sen^2x)^3\\
a=cos^2x\\
b=sen^2x\\
a^3+b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab)
[/tex3]
Agora é só substituir "a" e "b".
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