Física I

Mensagem não lidapor **VictorS** » 28 Ago 2016, 16:55 · Mensagem não lida por **VictorS** » 28 Ago 2016, 16:55

Uma bola é atirada para cima em um plano inclinado com velocidade inicial [tex3]v_{o}[/tex3]. O plano está inclinado com um ângulo [tex3]\phi[/tex3] com a horizontal e a velocidade inicial da bola tem um ângulo [tex3]\theta[/tex3] acima do plano. Escolha eixos com x medido na direção para cima da inclinação, y normal à inclinação. Escreva a segunda lei de Newton usando estes eixos e determine a posição da bola como função do tempo. Mostre que a bola aterrissa a uma distância R = 2[tex3]v_{o}^{2} sen \theta cos(\theta + \phi)/(gcos^{2}\phi)[/tex3] do ponto em que ela foi lançada. Mostre que, para dados [tex3]v_{o}[/tex3] e [tex3]\phi[/tex3] , o alcance máximo da bola acima da inclinação é [tex3]R_{max} = v_{o}^{2}/[g(1+ sen \phi)][/tex3].

Então, consegui resolver a primeira parte do problema, o que me está dando problemas é a segunda. Peguei a equação do ponto em que a bola aterrissa e derivei em relação à [tex3]\theta[/tex3] de modo a encontrar o seu valor máximo, e encontrei [tex3]\theta _{max} = \pi/4 + \phi/2[/tex3] , que substitui de volta na equação do ponto em que a bola, mas não consegui reduzir ela à [tex3]R_{max}[/tex3]. Fiz algo errado?

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 29 Ago 2016, 03:36

Se tiver como, posta a solução do primeiro item...
Bom, depois das derivações, você chegou até a seguinte equação,

$\frac{2v_0^2}{g\cos^2 \phi} \left( \cos \theta \cdot \cos (\phi + \theta ) - \sin \theta \cdot \sin (\theta + \phi) \right) = 0$

ou seja, devemos resolver a equação,

$\cos \theta \cdot \cos (\theta + \phi) - \sin \theta \cdot \sin (\theta + \phi ) = 0$

Lembrando da igualdade $\cos ( x+y) = \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y$ , segue que:

$\cos ( 2\theta + \phi ) = 0 \therefore 2\theta + \phi = \frac{\pi } 2 \Rightarrow \theta = \frac{\pi} 4 - \frac{\phi} 2$

Substituindo-se esse valor de $\theta$ na equação para $R$ , segue que:

$R = \frac{2v_0^2\cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} \right) \cdot \cos \left( \phi + \frac{\pi}{4}- \frac{\pi}{2} \right)}{g \cos^2 \phi} = \frac{2v_0^2 \cdot \sin \left( \frac{\pi} 4 - \frac{\phi}{2} \right)\cdot \cos\left( \frac{\pi}{4} - \frac{\phi}{2}\right)}{g \cos^2 \phi}$

$R = \frac{2v_0^2 \frac{1}{\sqrt 2}\left( \cos \frac{\phi} 2 - \sin \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt 2}\left( \frac{\cos \phi}{2}-\sin \frac{\phi}{2} \right)}{g \cos^2 \phi}= \frac{v_0^2 \left(\cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\phi}{2} \right)^2}{g \cos^2 \phi}$

$R = \frac{v_0^2 \left(\cos^2 \frac{\phi} 2 + \sin^2 \frac{\phi} 2 - 2 \cdot \sin \frac{\phi} 2 \cdot \cos \frac{\phi} 2 \right)}{g \cos^2 \phi}= \frac{v_0^2 \left( 1 - \sin \phi \right)}{g(1-\sin \phi) (1 + \sin \phi) }$

$R = \frac{v_0^2}{g\left( 1 + \sin \phi \right)}$

Obs: Lembre-se que $\cos^2 x = 1- \sin^2 x = (1- \sin x ) (1+ \sin x)$ .

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