IME / ITA

Mensagem não lidapor **Thadeu** » 24 Ago 2016, 18:06 · Mensagem não lida por **Thadeu** » 24 Ago 2016, 18:06

Numa PG de razão [tex3]q[/tex3] , sabe-se que:

I - o produto do logaritmo natural do primeiro termo pelo logaritmo natural da razão é 24
II - a soma do logaritmo natural do segundo termo com o logaritmo natural do terceiro termo é 26

Se [tex3]ln\,q[/tex3] é um número inteiro, então o termo geral [tex3]2n[/tex3] vale:

a) [tex3]e^{6n-2}[/tex3]
b) [tex3]e^{4+6n}[/tex3]
c) [tex3]e^{24n}[/tex3]
d) [tex3]e^{4-6n}[/tex3]
e) nda

Mensagem não lidapor **LucasPinafi** » 24 Ago 2016, 21:03

I - o produto do logaritmo natural do primeiro termo pelo logaritmo natural da razão é 24

$\ln a_1 \cdot \ln q = 24$

II - a soma do logaritmo natural do segundo termo com o logaritmo natural do terceiro termo é 26

$\ln a_2 + \ln a_3 = 26 \therefore \ln (a_2 a_3) = 26 \therefore \ln (a_1 q \cdot a_1q^2)=26 \\ 2 \ln a_1 + 3 \ln q = 26 \therefore 2 (\ln a_1)^2 + 3 \ln a_1 \cdot \ln q = 26 \ln a_1 \\ 2(\ln a_1)^2 +3(24) = 26 \ln a_1 \therefore (\ln a_1)^2 - 13 \ln a_1 + 36 =0 \\ \ln a_1 = \frac{13 \pm \sqrt{169-144}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2} \Longrightarrow \begin{cases} \ln a_1 = 9 \\ \ln a_1 = 4 \end{cases}$ ]

Sabemos que $\ln q$ é um número inteiro. Portanto, temos que $\ln a_1 \cdot \ln q = 24$ o que pode ser verdade se, e somente se, tivermos $\ln a_1 = 4$ . Logo, $a_1 = e^4$ , e $\ln q = 6 \Rightarrow q = e^6$ . Assim, o termo geral $a_{n}$ é dado por $a_{n} = a_1 q^{n-1} = e^4 \cdot e^{6n-6}= e^{6n-2}$

IME / ITA ⇒ (ITA - 1991) Progressão Geométrica Tópico resolvido

(ITA - 1991) Progressão Geométrica

Re: (ITA - 1991) Progressão Geométrica

IME / ITA ⇒ (ITA - 1991) Progressão Geométrica Tópico resolvido

(ITA - 1991) Progressão Geométrica

Re: (ITA - 1991) Progressão Geométrica

Entrar | Registrar